Skillnad mellan versioner av "1.6 Lösning 6b"
Från Mathonline
Taifun (Diskussion | bidrag) m |
Taifun (Diskussion | bidrag) m |
||
| Rad 1: | Rad 1: | ||
| − | Från modellen: | + | Från modellen<span style="color:black">:</span> |
| − | :<math> y = 12\,000 \cdot (1,065)\,^x </math> | + | ::<math> y = 12\,000 \cdot (1,065)\,^x </math> |
| − | får man följande ekvation genom att sätta y till det dubbla av | + | får man följande ekvation genom att sätta y till det dubbla av startkapitalet 12 000 kr<span style="color:black">:</span> |
| − | :<math> 24\,000 = 12\,000 \cdot (1,065)\,^x </math> | + | ::<math> 24\,000 = 12\,000 \cdot (1,065)\,^x </math> |
Detta är en exponentialekvation. | Detta är en exponentialekvation. | ||
| − | :<math>\begin{align} 12\,000 \cdot (1,065)\,^x & = 24\,000 & &\;| \; /\,12\,000 \\ | + | ::<math>\begin{align} 12\,000 \cdot (1,065)\,^x & = 24\,000 & &\;| \; /\,12\,000 \\ |
(1,065)\,^x & = 2 \quad & &: \;\text{Skriv 1,065 och 2 som 10-potenser} \\ | (1,065)\,^x & = 2 \quad & &: \;\text{Skriv 1,065 och 2 som 10-potenser} \\ | ||
(10^{\lg(1,065)})\,^x & = 10^{\lg 2} \quad & &: \;\text{3:e potenslag i VL} \\ | (10^{\lg(1,065)})\,^x & = 10^{\lg 2} \quad & &: \;\text{3:e potenslag i VL} \\ | ||
| Rad 15: | Rad 15: | ||
\end{align}</math> | \end{align}</math> | ||
| − | När två potenser med samma bas är lika med varandra måste deras exponenter vara lika med varandra: | + | När två potenser med samma bas är lika med varandra måste deras exponenter vara lika med varandra<span style="color:black">:</span> |
::<math>\begin{align} x \cdot \lg(1,065) & = \lg 2 \\ | ::<math>\begin{align} x \cdot \lg(1,065) & = \lg 2 \\ | ||
| Rad 22: | Rad 22: | ||
\end{align}</math> | \end{align}</math> | ||
| − | För att omvandla decimaldelen av lösningen till månader måste den multipliceras med 12: | + | För att omvandla decimaldelen av lösningen till månader måste den multipliceras med 12<span style="color:black">:</span> |
::<math> 0,00674 \cdot 12 = 0,08087 </math> | ::<math> 0,00674 \cdot 12 = 0,08087 </math> | ||
| − | Detta blir avrundat 0 månader. Därför: | + | Detta blir avrundat 0 månader. Därför<span style="color:black">:</span> |
Startkapitalet kommer att fördubblas efter <math> 11\, </math> år (och 0 månader). | Startkapitalet kommer att fördubblas efter <math> 11\, </math> år (och 0 månader). | ||
Versionen från 19 januari 2017 kl. 01.36
Från modellen:
- \[ y = 12\,000 \cdot (1,065)\,^x \]
får man följande ekvation genom att sätta y till det dubbla av startkapitalet 12 000 kr:
- \[ 24\,000 = 12\,000 \cdot (1,065)\,^x \]
Detta är en exponentialekvation.
- \[\begin{align} 12\,000 \cdot (1,065)\,^x & = 24\,000 & &\;| \; /\,12\,000 \\ (1,065)\,^x & = 2 \quad & &: \;\text{Skriv 1,065 och 2 som 10-potenser} \\ (10^{\lg(1,065)})\,^x & = 10^{\lg 2} \quad & &: \;\text{3:e potenslag i VL} \\ 10^{x \cdot \lg(1,065)} & = 10^{\lg 2} \\ \end{align}\]
När två potenser med samma bas är lika med varandra måste deras exponenter vara lika med varandra:
- \[\begin{align} x \cdot \lg(1,065) & = \lg 2 \\ x & = {\lg 2 \over \lg(1,065)} \\ x & = 11,00674 \end{align}\]
För att omvandla decimaldelen av lösningen till månader måste den multipliceras med 12:
- \[ 0,00674 \cdot 12 = 0,08087 \]
Detta blir avrundat 0 månader. Därför:
Startkapitalet kommer att fördubblas efter \( 11\, \) år (och 0 månader).
