Skillnad mellan versioner av "2.5 Lösning 4"
Från Mathonline
Taifun (Diskussion | bidrag) m (Created page with "Tangentens lutning i punkten <math> (0, 1)\, </math> är lika med kurvans lutning i denna punkt. Och detta är lika med funktionen <math>f(x)=e^x\,</math>:s derivata i punkten <...") |
Taifun (Diskussion | bidrag) m |
||
| Rad 1: | Rad 1: | ||
| − | Tangentens lutning i punkten <math> | + | Tangentens lutning i punkten <math> x = 0\, </math> är lika med kurvans lutning i denna punkt. |
| − | Och detta är lika med funktionen <math>f(x)= | + | Och detta är lika med funktionen <math> f(x) = 2^x\, </math>:s derivata i punkten <math> x = 0\, </math>. Därför bildar vi derivatan: |
| − | ::<math> f(x) = | + | ::<math> f(x) = 2\,^x </math> |
| − | ::<math> f\,'(x) = | + | ::<math> f\,'(x) = 2\,^x \cdot \ln 2 </math> |
| − | + | Vi sätter in <math> 0\, </math> för <math> x\, </math> i derivatan: | |
| − | ::<math> f\,'(0) = | + | ::<math> f\,'(0) = 2\,^0 \cdot \ln 2 = 1 \cdot \ln 2 = \ln 2 </math> |
| − | <math> | + | <math> \ln 2\, </math> är funktionens derivata i punkten <math> x = 0\, </math> och därmed tangentens lutning. Därför är tangentens ekvation: |
::<math> y = k\cdot x + m </math> | ::<math> y = k\cdot x + m </math> | ||
| − | ::<math> y = | + | ::<math> y = (\ln 2)\cdot x + m\, </math> |
| − | + | +++ | |
För att bestämma <math> m\, </math> sätter vi i denna ekvation <math> 0\, </math> för <math> x\, </math> och | För att bestämma <math> m\, </math> sätter vi i denna ekvation <math> 0\, </math> för <math> x\, </math> och | ||
<math> 1\, </math> för <math> y\, </math> eftersom tangenten går igenom punkten <math> (0, 1)\, </math>: | <math> 1\, </math> för <math> y\, </math> eftersom tangenten går igenom punkten <math> (0, 1)\, </math>: | ||
Versionen från 15 maj 2011 kl. 13.02
Tangentens lutning i punkten \( x = 0\, \) är lika med kurvans lutning i denna punkt.
Och detta är lika med funktionen \( f(x) = 2^x\, \):s derivata i punkten \( x = 0\, \). Därför bildar vi derivatan:
- \[ f(x) = 2\,^x \]
- \[ f\,'(x) = 2\,^x \cdot \ln 2 \]
Vi sätter in \( 0\, \) för \( x\, \) i derivatan:
- \[ f\,'(0) = 2\,^0 \cdot \ln 2 = 1 \cdot \ln 2 = \ln 2 \]
\( \ln 2\, \) är funktionens derivata i punkten \( x = 0\, \) och därmed tangentens lutning. Därför är tangentens ekvation:
- \[ y = k\cdot x + m \]
- \[ y = (\ln 2)\cdot x + m\, \]
+++ För att bestämma \( m\, \) sätter vi i denna ekvation \( 0\, \) för \( x\, \) och \( 1\, \) för \( y\, \) eftersom tangenten går igenom punkten \( (0, 1)\, \):
- \[ 1 = 1\cdot 0 + m\, \]
- \[ 1 = m\, \]
Därför är tangentens ekvation:
- \[ y = x + 1\, \]
