Skillnad mellan versioner av "2.5 Lösning 4"
Taifun (Diskussion | bidrag) m |
Taifun (Diskussion | bidrag) m |
||
| Rad 16: | Rad 16: | ||
::<math> y = (\ln 2)\cdot x + m\, </math> | ::<math> y = (\ln 2)\cdot x + m\, </math> | ||
| − | + | ||
Tangeringspunktens <math> x\, </math>-koordinat är <math> 0\, </math>. Dess <math> y\, </math>-koordinat blir <math> f(0) = 2\,^0 = 1 </math> eftersom kurvan går igenom tangeringspunkten. Därför har tangeringspunkten koordinaterna <math> (0, 1)\, </math>. | Tangeringspunktens <math> x\, </math>-koordinat är <math> 0\, </math>. Dess <math> y\, </math>-koordinat blir <math> f(0) = 2\,^0 = 1 </math> eftersom kurvan går igenom tangeringspunkten. Därför har tangeringspunkten koordinaterna <math> (0, 1)\, </math>. | ||
| Rad 22: | Rad 22: | ||
<math> 1\, </math> för <math> y\, </math> eftersom tangenten går igenom tangeringspunkten <math> (0, 1)\, </math>: | <math> 1\, </math> för <math> y\, </math> eftersom tangenten går igenom tangeringspunkten <math> (0, 1)\, </math>: | ||
| − | ::<math> 1 = | + | ::<math> 1 = (\ln 2)\cdot 0 + m\, </math> |
::<math> 1 = m\, </math> | ::<math> 1 = m\, </math> | ||
| Rad 28: | Rad 28: | ||
Därför är tangentens ekvation: | Därför är tangentens ekvation: | ||
| − | ::<math> y = x + 1\, </math> | + | ::<math> y = (\ln 2)\cdot x + 1\, </math> |
Versionen från 15 maj 2011 kl. 13.10
Tangentens lutning i punkten \( x = 0\, \) är lika med kurvans lutning i denna punkt.
Och detta är lika med funktionen \( f(x) = 2^x\, \):s derivata i punkten \( x = 0\, \). Därför bildar vi derivatan:
- \[ f(x) = 2\,^x \]
- \[ f\,'(x) = 2\,^x \cdot \ln 2 \]
Vi sätter in \( 0\, \) för \( x\, \) i derivatan:
- \[ f\,'(0) = 2\,^0 \cdot \ln 2 = 1 \cdot \ln 2 = \ln 2 \]
\( \ln 2\, \) är funktionens derivata i punkten \( x = 0\, \) och därmed tangentens lutning. Därför är tangentens ekvation:
- \[ y = k\cdot x + m \]
- \[ y = (\ln 2)\cdot x + m\, \]
Tangeringspunktens \( x\, \)-koordinat är \( 0\, \). Dess \( y\, \)-koordinat blir \( f(0) = 2\,^0 = 1 \) eftersom kurvan går igenom tangeringspunkten. Därför har tangeringspunkten koordinaterna \( (0, 1)\, \).
För att bestämma \( m\, \) sätter vi i denna ekvation \( 0\, \) för \( x\, \) och \( 1\, \) för \( y\, \) eftersom tangenten går igenom tangeringspunkten \( (0, 1)\, \):
- \[ 1 = (\ln 2)\cdot 0 + m\, \]
- \[ 1 = m\, \]
Därför är tangentens ekvation:
- \[ y = (\ln 2)\cdot x + 1\, \]
