Skillnad mellan versioner av "1.2 Faktorisering av polynom"

Versionen från 19 september 2012 kl. 12.15

Lektion 5 Faktorisering av polynom I

Lektion 6 Faktorisering av polynom II

Polynom i faktorform

Du kommer väl ihåg att

\[ a \cdot b \]

är en produkt vars ingredienser \(a\) och \(b\) kallas faktorer. Så länge \(a\) och \(b\) är variabler dvs platshållare för tal är uttrycket ovan en faktorform för tal.

T.ex. är produkten \( 3 \cdot 4 \) en faktorform för eller en faktorisering av talet 12:

\[ 12 \, = \, 3 \cdot 4 \]

Analog till faktorisering av heltal kan även polynom faktoriseras.

Faktorisering av polynom innebär att skriva om polynomet, som ursprungligen är en summa av termer, till en produkt. T.ex.:

\[ x^2 - 7\,x + 12 = (x-3) \cdot (x-4) \]

Till vänster om likhetstecknet har vi ett polynom som en summa av termer. Till höger står samma polynom som en produkt av faktorer dvs i faktorform. Detta polynom i faktorform är resultat av faktorisering. Ingredienserna i faktorformen dvs faktorerna \( (x-3)\, \) och \( (x-4)\, \) är i sin tur polynom, fast av mindre grad, nämligen 1. Ursprungspolynomet är av grad 2, liknande faktorerna 3 och 4 som är mindre än 12. Man har splittrat upp det hela i sina beståndsdelar: talet 12 i sina beståndsdelar 3 och 4 och polynomet \( x^2 - 7\,x + 12 \) i sina beståndsdelar \( (x-3)\, \) och \( (x-4)\, \).

Matematiskt inser man likheten ovan genom att utveckla högerledet:

\[ (x-3) \cdot (x-4) = x^2 - 4\,x - 3\,x + 3 \cdot 4 = x^2 - 7\,x + 12 \]

Men hur får man fram faktorformen från polynomet? Dvs hur faktoriserar man ett polynom? Frågan är relevant av olika skäl: För det första tillåter faktorformen förkortning och därmed förenkling av komplexa algebraiska uttryck. För det andra avslöjar faktorformen polynomets nollställen. Du kommer väl ihåg att sådana x för vilka polynomets värde är 0, kallas för polynomets nollställen. För att förstå varför faktorisering avslöjar polynomets nollställen sätter vi polynomet \( x^2 - 7\,x + 12 \) till 0 och får följande ekvation:

\[ x^2 - 7\,x + 12 = (x-3) \cdot (x-4) = 0 \]

Denna ekvation är en inbjudan att söka de tal x för vilka polynomets värde är 0. Därför är denna ekvations lösningar identiska med polynomets nollställen, vare sig man skriver polynomet som en summa av termer eller i faktorform. Faktorformen \((x-3) (x-4) \) har dock den stora fördelen att man kan se lösningarna till ekvationen ovan utan att behöva räkna. Det är nollproduktmetoden som gör detta möjligt. Den visar nämligen att 3 och 4 är lösningar till ekvationen \( (x-3) (x-4) = 0 \): För att produkten \( (x-3) (x-4) \) ska vara lika med 0 måste antingen den första faktorn \( (x-3) \) eller den andra faktorn \( (x-4) \) vara lika med 0. För att \( (x-3) \) eller \( (x-4) \) ska vara lika med 0 måste \( x \) antingen vara lika med 3 eller lika med 4. Detta i sin tur innebär att 3 och 4 är lösningar till ekvationen \( (x-3) (x-4) = 0 \). Å andra sidan måste pga likheten mellan polynom och dess faktorform 3 och 4 även vara polynomets nollställen dvs lösningar till ekvationen ovan. Men vad gör man om man inte än har faktorformen?

Faktorisering av 2:a gradspolynom

Resonemanget ovan ger oss nu en metod i handen for att få fram faktorformen från polynomet. För att faktorisera polynomet\( x^2 - 7\,x + 12 \) behöver vi bara beräkna dess nollställen, säg \( x_1\, \) och \( x_2\, \), och sedan skriva upp faktorformen \((x-x_1)\cdot (x-x_2) \). Låt oss genomföra det i vårt exempel:

\[\begin{align} x^2 - 7\,x + 12 & = 0 \\ x_{1,2} & = 3,5 \pm \sqrt{12,25 - 12} \\ x_{1,2} & = 3,5 \pm \sqrt{0,25} \\ x_{1,2} & = 3,5 \pm 0,5 \\ x_1 & = 4 \\ x_2 & = 3 \\ \end{align}\]

Därför har polynomet \( x^2 - 7\,x + 12 \) faktorformen \( (x-3) \cdot (x-4) \). Vi kommer att lära oss en effektivare metod för lösning av 2:a gradsekvationer och därmed för faktorisering av 2:gradspolynom, när vi lärt oss ett enkelt samband mellan ett polynoms koefficienter och dess nollställen (Vietas formler).

Det som vi genomförde för vårt exempel kan generaliseras till alla 2:gradspolynom, åtminstone sådana som är givna i normalform:

Sats (Faktorisering med 2 nollställen):

Om 2:gradspolynomet \( x^2 + p\,x + q \) har nollställena \( x_1\, \) och \( x_2\, \) så gäller:

\[ x^2 + p\,x + q = (x-x_1) \cdot (x-x_2) \]

För att bevisa satsen ovan kan man t.ex. sätta in 2:a gradsekvationens lösningsformel (pq-formeln) för \( x_1\, \) och \( x_2\, \) och utveckla produkten på högerledet. En jämförelse av koefficienter kommer att resultera i likhet med vänsterledet. Det finns motsvarande satser om polynom av högre grad än 2 som vi inte behandlar här.

Istället ska vi undersöka ett enkelt, men intressant samband mellan 2:a gradspolynomets koefficienter \( p\, \) och \( q\, \) och dess nollställen \( x_1\, \) och \( x_2\, \), vilket ger dig möjligheten att roa dina vänner genom att låta dem säga två tal, t.ex. 3 och 4, och omedelbart skriva upp den 2:a gradsekvation vars lösningar just är 3 och 4.

Samband mellan koefficienter och nollställen (Vietas formler)

Vi åter anknyter till exemplet som vi behandlade inledningsvis (Polynom i faktorform) genom att utveckla produkten:

\[ (x-3) \cdot (x-4) = x^2 - 4\,x - 3\,x + 3 \cdot 4 = x^2 - (3+4)\,x + 3 \cdot 4 = x^2 - 7\,x + 12 \]

Att vi i mellanräkningen, till synes onödigt, skriver \( x^2 - (3+4)\,x + 3 \cdot 4 \) beror på att vi vill förtydliga sambandet mellan polynomets koefficienter -7 och 12 å ena sidan och dess nollställen 3 och 4 å andra sidan: x-termens koefficient -7 är summan av nollställena 3 och 4 med omvänt förtecken. Polynomets konstanta term 12 är produkten till nollställena 3 och 4. Dvs vi har följande samband mellan polynomets koefficienter och dess nollställen:

\[ 3 + 4 = 7 \qquad {\rm och} \qquad 3 \cdot 4 = 12 \]

Detta ger oss ett verktyg i handen att bestämma polynomets nollställen med hjälp av dess koefficienter. Du skulle kunna roa dina vänner genom att låta dem säga två tal, t.ex. 3 och 4, och omedelbart skriva upp 2:a gradsekvationen

\[ x^2 - 7\,x + 12 = 0 \]

Sedan kan du låta dina vänner lösa ekvationen. De kommer att få just dessa två tal som lösningar. För att bilda ekvationen behöver du bara summera talen och sätta summan med omvänt förtecken framför x samt multiplicera talen med varandra och använda produkten som 2:a gradsekvationens konstanta term. Prova gärna med andra tal. Det kommer alltid att stämma, vilket inte är något trolleri utan resultat av följande generell matematisk sats:

Sats (Vietas formler):

Om 2:gradspolynomet \( x^2 + p\,x + q \) har nollställena \( x_1\, \) och \( x_2\, \) så gäller:

\[ x_1 + x_2 = -p \qquad {\rm och} \qquad x_1 \cdot x_2 = q \]

Bevis:

Genom att använda satsen som vi formulerade i slutet av förra paragrafen (Faktorisering med 2 nollställen) kan vi skriva:

\[ x^2 + p\,x + q = (x-x_1) \cdot (x-x_2) \]

Om vi nu utvecklar produkten på höger sidan kan vi skriva vidare:

\[ x^2 + p\,x + q = (x-x_1) \cdot (x-x_2) = x^2 - x_2\,x - x_1\,x + x_1 \cdot x_2 = x^2 - (x_1+x_2)\,x + x_1 \cdot x_2 \]

En jämförelse av koefficienterna mellan polynomet \( x^2 - (x_1+x_2)\,x + x_1 \cdot x_2 \) (högerled) och polynomet \( x^2 + p\,x + q \) (vänsterled) ger:

\[ x_1 + x_2 = -p \qquad {\rm och} \qquad x_1 \cdot x_2 = q \]

Vad som skulle bevisas (V.s.b.).

Denna sats kan generaliseras ytterligare till polynom av högre grad än 2. Den franske matematikern François Viète var en av de första som såg sambandet mellan ett polynoms koefficienter och dess nollställen. Därför kallas formlerna \( x_1 + x_2 = -p\, \) och \( x_1 \cdot x_2 = q \) efter honom Vietas formler.

Er stor fördel av Vietas formler för oss är att man kan lösa 2:a gradsekvationer och därmed faktorisera polynom utan att behöva använda lösningsformeln. Detta innebär mindre räknearbete vilket i sin tur minskar risken för felräkning. På köpet går det fortare att ta fram faktorisering av polynom.

Exempel 1

Ta ekvationen

\( x^2 - 7\,x + 10 = 0 \)

För lösningarna \( x_1\,\) och \( x_2\,\) måste enligt Vietas formler gälla\[ \begin{align} x_1 + x_2 & = -(-7) = 7 \\ x_1 \cdot x_2 & = 10 \end{align}\]

Vi måste alltså hitta två tal vars produkt är 10 och vars summa är 7. Med lite provande hittar man 2 och 5 eftersom \( 2 + 5 = 7\, \) och \( 2 \cdot 5 = 10 \). Prövning bekräftar resultatet\[ 2^2 - 7\cdot 2 + 10 = 4 - 14 + 10 = 0 \]

\( 5^2 - 7\cdot 5 + 10 = 25 - 35 + 10 = 0 \)

Har vi på det här enkla sättet hittat nollställena till polynomet \( x^2 - 7\,x + 10 \) kan vi faktorisera det\[ x^2 - 7\,x + 10 = (x - 2) \cdot (x - 5) \]

Utveckling av produkten på höger sidan bekräftar faktoriseringen.

Exempel 2

Till ekvationen

\( x^2 - 6\,x + 9 = 0 \)

ger Vietas formler\[ \begin{align} x_1 + x_2 & = -(-6) = 6 \\ x_1 \cdot x_2 & = 9 \end{align}\]

Man hittar lösningarna \( x_1 = 3\,\) och \( x_2 = 3\,\) eftersom \( 3 + 3 = 6\,\) och \( 3 \cdot 3 = 9 \).

Därför kan polynomet \( x^2 - 6\,x + 9 \) faktoriseras så här\[ x^2 - 6\,x + 9 = (x - 3) \cdot (x - 3) = (x - 3)^2 \]

Det intressanta med detta exempel är att vi endast har en lösning x = 3 till 2:a gradsekvationen \( x^2 - 6 x + 9 = 0 \). Fast, om vi tittar på faktorformen \( (x - 3) (x - 3) = 0 \) kan man lika bra säga att vi har två identiska lösningar - en filosofisk skillnad som man matematiskt brukar lösa upp genom att kalla lösningen för en dubbelrot.