Skillnad mellan versioner av "2.3 Gränsvärde"
Taifun (Diskussion | bidrag) m (→Exempel 1) |
Taifun (Diskussion | bidrag) m (→Exempel 1) |
||
| Rad 24: | Rad 24: | ||
För <math> x = 2\, </math> blir funktionsuttryckets nämnare <math> 0\, </math>. Därför visar grafen en diskontinuitet av typ oändlighetsställe. Funktionens definitionsmängd är alla <math> x \neq 2\, </math>. Funktionen är kontinuerlig i hela sin definitionsmängd. | För <math> x = 2\, </math> blir funktionsuttryckets nämnare <math> 0\, </math>. Därför visar grafen en diskontinuitet av typ oändlighetsställe. Funktionens definitionsmängd är alla <math> x \neq 2\, </math>. Funktionen är kontinuerlig i hela sin definitionsmängd. | ||
| − | Vi vill undersöka hur <math> f(x)\, </math> beter sig när <math> x \, </math> växer. Som grafen visar blir <math> f(x)\, </math> allt mindre ju större <math> x \, </math> blir. Kurvan närmar sig <math> 0\, </math> när <math> x \, </math> växer utan att bli <math> 0\, </math> någon gång. | + | Vi vill undersöka hur <math> f(x)\, </math> beter sig när <math> x \, </math> växer. Som grafen visar blir <math> f(x)\, </math> allt mindre ju större <math> x \, </math> blir. Kurvan närmar sig <math> 0\, </math> när <math> x \, </math> växer utan att bli <math> 0\, </math> någon gång. Kurvan skär aldrig <math> \, x </math>-axeln. Därför har funktionen inget nollställe. |
Versionen från 25 juli 2014 kl. 22.07
| <-- Förra avsnitt | Teori | Övningar | Nästa avsnitt --> |
Gränsvärde av en funktion
Exempel 1
Följande funktion samt graf är given:
\[ y = f(x) = {10 \over x - 2} \qquad\qquad {\color{White} x} \] Fil:Ex 1 Gränsvärde 70.jpg
För \( x = 2\, \) blir funktionsuttryckets nämnare \( 0\, \). Därför visar grafen en diskontinuitet av typ oändlighetsställe. Funktionens definitionsmängd är alla \( x \neq 2\, \). Funktionen är kontinuerlig i hela sin definitionsmängd.
Vi vill undersöka hur \( f(x)\, \) beter sig när \( x \, \) växer. Som grafen visar blir \( f(x)\, \) allt mindre ju större \( x \, \) blir. Kurvan närmar sig \( 0\, \) när \( x \, \) växer utan att bli \( 0\, \) någon gång. Kurvan skär aldrig \( \, x \)-axeln. Därför har funktionen inget nollställe.
. Dvs vi ersätter i definitionen \( a \, \) med \( 0 \, \) och \( f(x) \, \) med \( 1 \over x \). Enligt definitionen borde då:
- \[ {1 \over x} \to f(0) \] när \( x \to 0 \).
Men \( {1 \over x} \) kan inte gå mot \( f(0)\, \) därför att \( f(0)\, \) dvs \( {1 \over 0} \) inte är definierad. Därme är definitionens krav inte uppfyllt.
Slutsats: Funktionen \( y = {1 \over x} \) är inte kontinuerlig för \( x = 0\, \).
b) Låt oss nu undersöka om funktionen är kontinuerlig för \( {\color{Red} x = 2}\, \). Vi ersätter i definitionen \( a \, \) med \( 2 \, \) och \( f(x) \, \) med \( 1 \over x \). Enligt definitionen borde då:
- \[ {1 \over x} \to {1 \over 2} \] när \( x \to 2 \).
Närmar man sig \( 2\, \) på \( x\, \)-axeln, från höger eller från vänster, närmar sig \( y\, \) värdet \( 1 \over 2 \) i båda fall, därör att \( f(2) = {1 \over 2} \). Därmed är dfinitionens krav uppfyllt.
Slutsats: Funktionen \( y = {1 \over x} \) är kontinuerlig för \( x = 2\, \).
På samma sätt kan man undersöka om funktionen är kontinuerlig för andra \( {\color{Red} x}\, \). Det kommer att visa sig att:
- Funktionen \( y = {1 \over x} \) är kontinuerlig för alla \( x \neq 0\, \).
Resultatet kan också ses i grafen: Endast i \( x=0\, \) skenar kurvorna iväg mot oändligheten, den ena mot \( + \infty\, \), den andra mot \( - \infty\, \), annars är de sammanhängande.
