Skillnad mellan versioner av "2.3 Gränsvärde"

Versionen från 26 juli 2014 kl. 16.24

Lektion 12 Gränsvärde

Gränsvärde av en funktion

Exempel

Följande funktion samt graf är given:

\[ y = f(x) = {10 \over x - 2} \qquad\qquad {\color{White} x} \] Fil:Ex 1 Gränsvärde 70.jpg

För \( x = 2\, \) är \( f(x)\, \) inte definierad eftersom funktionsuttryckets nämnare blir \( 0\, \) när \( x = 2\, \). Följaktligen visar grafen i \( x = 2\, \) en diskontinuitet av typ oändlighetsställe. Annars är \( f(x)\, \) kontinuerlig i hela sin definitionsmängd som består av alla \( x \neq 2\, \).

Vi vill undersöka hur \( f(x)\, \) beter sig när \( x \, \) växer, dvs i ett område där funktionen är kontinuerlig.

Som grafen visar blir \( f(x)\, \) allt mindre ju större \( x \, \) blir. Kurvan närmar sig \( 0\, \) när \( x \, \) växer utan att bli \( 0\, \) någon gång. Kurvan skär aldrig \( \, x \)-axeln. Därför har funktionen inget nollställe. Detta bekräftas av funktionsuttrycket: Täljaren är konstanten \( 10\, \) som aldrig kan bli \( 0\, \). Därför kan hela funktionsuttrycket aldrig bli \( 0\, \). Ett sätt att beskriva detta beteende är:

\[ {10 \over x - 2} \to 0 \] när \( x \to \infty \qquad {\color{White} x} \) vilket läses så här\[ {\color{White} x} \qquad {10 \over x - 2} \] går mot \( 0\, \) när \( \,x \) går mot \( \infty \) .

Det strikt matematiska sättet att uttrycka samma sak är:

\[ \lim_{x \to \infty}\,{10 \over x - 2}\,=\,0 \qquad\qquad\; {\color{White} x} \] vilket läses så här\[ {\color{White} x} \quad\; {\color{White} x} \] Limes av \( {10 \over x - 2} \)  då \( \,x \) går mot \( \infty \) är \( 0\, \), vilket betyder:

Gränsvärdet för \( {10 \over x - 2} \)  då \( \,x \) går mot \( \infty \) är \( 0\, \) .

Förkortningen  lim  står för det latinska ordet  Limes   som betyder gräns. Limesbegreppet är centralt i matematiken och kommer att användas i nästa avsnitt för att definiera derivatan.

Ett ganska liknande beteende visar \( f(x)\, \) när \( x \, \) går mot "stora" negativa värden, dvs när \( x \to -\,\infty \) som också är ett område där funktionen är kontinuerlig. Detta karakteriseras med Limes så här:

\[ \lim_{x \to -\,\infty}\,{10 \over x - 2}\,=\,0 \]

Skillnaden är bara att nu \( f(x)\, \) närmar sig \( 0 \, \) från negativt håll, dvs \( {10 \over x - 2} \to 0 \) när \( x \to -\,\infty \).

Eftersom resultatet är identiskt från både positivt och negativt håll säger man:

Gränsvärdet för \( {10 \over x - 2} \)  då \( \,x \) går mot \( \infty \) existerar och är \( {\color{Red} 0}\, \) ,   kort\[ {\color{White} x} \quad {\color{Red} \lim_{x \to \infty}\,{10 \over x - 2}\,=\,0} \qquad\qquad\; {\color{White} x} \] .

Gränsvärde saknas

Vi stannar hos exemplet ovan, men vill undersöka nu hur \( f(x)\, \) beter sig när \( \, x = 2 \) , dvs i en punkt där funktionen inte är definierad och där grafen visar en diskontinuitet av typ oändlighetsställe. Hur kan man karakterisera detta beteende med hjälp av limes?

Som grafen visar - och beräkningar med funktionsuttrycket bekräftar - går \( f(x)\, \) mot \( +\, \infty \) när man närmar sig \( \, x = 2 \) från höger och mot \( -\, \infty \) när man närmar sig \( \, x = 2 \) från vänster. Om vi uttrycker detta med pilar ser det ut så här:

\[ {10 \over x - 2} \to +\, \infty \] när \( x \to 2^{+} \qquad {\color{White} x} \) och \( {\color{White} x} \qquad {10 \over x - 2} \to -\, \infty \) när \( x \to 2^{-} \) .

där \( x \to 2^{+} \) betyder att närma sig \( \, x = 2 \) från höger och \( x \to 2^{-} \) att närma sig \( \, x = 2 \) från vänster.

Eftersom det finns två olika resultat beroende på om \( \, x \) går mot \( \, 2 \) från höger eller från vänster säger man:

Gränsvärdet för \( {10 \over x - 2} \)  då \( \,x \) går mot \( \, 2 \) existerar inte , kort: gränsvärde saknas.

Att ett matematiskt objekt - i det här fallet limes - inte samtidigt (inte för samma \( \,x \)) kan närma sig två olika värden är uppenbart.

Men även om en funktion skulle gå mot t.ex. \( +\,\infty \) för ett visst \( \, x\)-värde både från höger och vänster, skulle det strikt matematiskt inte vara korrekt att säga att limes av denna funktion existerar och är \( +\,\infty \). Anledningen är att \( \infty \) inte är något tal eller värde och därmed inte heller kan vara något gränsvärde. Även i det här fallet skulle det vara strikt matematiskt korrekt att säga: Gränsvärde saknas.

Ändå beskriver man ofta av bekvämlighetsskäl beteendet av \( f(x)\, \) för \( \, x = 2 \) med hjälp av limes:

\[ \lim_{x \to 2^{+}}\,{10 \over x - 2}\,=\,+\,\infty \qquad\qquad\; {\color{White} x} \] och \( {\color{White} x} \qquad \lim_{x \to 2^{-}}\,{10 \over x - 2}\,=\,-\,\infty \)

Dvs man ersätter helt enkelt framställningen med pilar som vi använde ovan med att beskriva samma beteende med hjälp av limes. Man föredrar en enhetlig notation för att beskriva gränsprocesser.

OBS! Av detta följer fortfarande inte att ett gränsvärde för \( 10 \over x - 2 \) existerar när \( x \to 2 \).

Blandade exempel

Exempel 1

Bestäm \( {\color{White} x} \qquad \lim_{x \to 0}\, {x^2 + 7\,x \over x} \)

Lösning\[ \lim_{x \to 0}\, {x^2 + 7\,x \over x} = \lim_{x \to 0}\, {{\color{Red} x}\,(x + 7) \over {\color{Red} x}} = \lim_{x \to 0}\, (x + 7) = \lim_{x \to 0}\, (0 + 7) = 7 \]

Exempel 2

Bestäm \( {\color{White} x} \qquad \lim_{x \to 3}\, {x^2 - x - 6 \over x - 3} \)

Lösning:

Vi måste faktorisera täljaren för att se om man ev. kan förkorta mot nämnaren\[ x^2 - x - 6 = 0 \]

För lösningarna \( x_1\,\) och \( x_2\,\) måste enligt Vietas formler gälla\[ \begin{align} x_1 + x_2 & = -(-1) = 1 \\ x_1 \cdot x_2 & = - 6 \end{align}\]

Vi måste alltså hitta två tal vars produkt är -6 och vars summa är 1. Med lite provande hittar man 3 och -2 eftersom \( 3 + (-2) = 1\, \) och \( 3 \cdot (-2) = -6 \).

Således\[ x^2 - x - 6 = (x - 3) \cdot (x + 2) \]

\( \lim_{x \to 3}\, {x^2 - x - 6 \over x - 3} = \lim_{x \to 3}\, {{\color{Red} (x-3)}\,(x + 2) \over {\color{Red} (x-3)}} = \lim_{x \to 3}\, (x + 2) = \lim_{x \to 3}\, (3 + 2) = 5 \)