Skillnad mellan versioner av "2.3a Lösning 10a"

Från Mathonline
Hoppa till: navigering, sök
m
m
Rad 1: Rad 1:
 
Faktorisera <math> {\color{White} x} x^3\,-\,1 {\color{White} x} </math>:
 
Faktorisera <math> {\color{White} x} x^3\,-\,1 {\color{White} x} </math>:
  
−
::<math>\begin{array}{rcl}  x^3\,-\,1 & = & 0                                \\
+
::<math> \begin{array}{rcl}  x^3\,-\,1 & = & 0                                \\
−
                                  x^3 & = & 1  \qquad  & | \; \sqrt[3]{\;\;} \\
+
                                  x^3 & = & 1  \qquad  & | \; \sqrt[3]{\;\;} \\
−
                                    x & = & 1
+
                                    x & = & 1
−
        \end{array}</math>
+
        \end{array}</math>
  
 
Således:
 
Således:
  
−
::<math> x^3\,-\,1 \,=\, (x-1) \; \cdot \; {\rm 2:a\;gradspolynom } \; P_2(x) </math>
+
::<math> x^3\,-\,1 \,=\, (x-1) \; \cdot \; {\rm 2:a\;gradspolynom } \; P_2\,(x) </math>
  
 +
::<math> P_2\,(x) = a\,x^2 + b\,x + c </math>
  
−
Att polynomet <math> P(x)\,</math> har två nollställen <math> a\, </math> och <math> -a\, </math> innebär följande delfaktorisering av <math> P(x)\, </math>:
+
Jämförelse av koefficienter:
  
−
:<math> \begin{align} P(x) = x^4 + 3\,x^3 - 7\,x^2 - 27\,x - 18 & = (x+a)\cdot (x-a) \cdot Q(x) \\
+
::<math> \begin{array}{rcl} x^3\,-\,1 & = & (x-1) \cdot (a\,x^2 + b\,x + c) = \\
−
                                                                & = (x^2-a^2) \cdot Q(x)
+
                                      & = & b\,x^4 + c\,x^3 + d\,x^2 + a^2\,b\,x^2 - a^2\,c\,x - a^2\,d =  \\
−
        \end{align} </math>
+
                                      & = & b\,x^4 + c\,x^3 + (d+a^2\,b)\,x^2 - a^2\,c\,x - a^2\,d  
−
 
+
        \end{array}</math>
−
där <math> Q(x)\, </math> är ett 2:a gradspolynom vars koefficienter b, c och d vi får bestämma:
+
−
 
+
−
:<math> Q(x) = b\,x^2 + c\,x + d </math>
+
−
 
+
−
Dessutom måste vi bestämma <math> a\, </math>. Då kan vi skriva <math> P(x)\,</math>:s delfaktorisering så här:
+
−
 
+
−
:<math> P(x) = x^4 + 3\,x^3 - 7\,x^2 - 27\,x - 18 = (x^2-a^2) \cdot (b\,x^2 + c\,x + d) </math>
+
−
 
+
−
Med hjälp av jämförelse av koefficienter ska vi nu bestämma a, b, c och d. För att kunna genomföra jämförelsen av koefficienter utvecklar vi produkten på höger sidan och ordnar termerna:
+
−
 
+
−
:<math> \begin{align} & x^4 + 3\,x^3 - 7\,x^2 - 27\,x - 18  = (x^2-a^2) \cdot (b\,x^2 + c\,x + d) = \\
+
−
                    & = b\,x^4 + c\,x^3 + d\,x^2 + a^2\,b\,x^2 - a^2\,c\,x - a^2\,d =  \\
+
−
                    & = b\,x^4 + c\,x^3 + (d+a^2\,b)\,x^2 - a^2\,c\,x - a^2\,d  
+
−
      \end{align}</math>
+
  
 
Jämförelse av koefficienterna på höger- och vänsterled ger:
 
Jämförelse av koefficienterna på höger- och vänsterled ger:

Versionen från 29 september 2014 kl. 14.17

Faktorisera \( {\color{White} x} x^3\,-\,1 {\color{White} x} \):

\[ \begin{array}{rcl} x^3\,-\,1 & = & 0 \\ x^3 & = & 1 \qquad & | \; \sqrt[3]{\;\;} \\ x & = & 1 \end{array}\]

Således:

\[ x^3\,-\,1 \,=\, (x-1) \; \cdot \; {\rm 2:a\;gradspolynom } \; P_2\,(x) \]
\[ P_2\,(x) = a\,x^2 + b\,x + c \]

Jämförelse av koefficienter:

\[ \begin{array}{rcl} x^3\,-\,1 & = & (x-1) \cdot (a\,x^2 + b\,x + c) = \\ & = & b\,x^4 + c\,x^3 + d\,x^2 + a^2\,b\,x^2 - a^2\,c\,x - a^2\,d = \\ & = & b\,x^4 + c\,x^3 + (d+a^2\,b)\,x^2 - a^2\,c\,x - a^2\,d \end{array}\]

Jämförelse av koefficienterna på höger- och vänsterled ger:

\[ \begin{align} b & = 1 \\ c & = 3 \\ d + a^2\,b & = -7 \\ - a^2\,c & = -27 \\ - a^2\,d & = -18 \end{align}\]

Genom insättning av \( c = 3\, \) i den 4:e ekvationen får vi:

\[ \begin{align} - a^2\cdot 3 & = -27 \\ a^2 & = {27 \over 3} \\ a^2 & = 9 \\ a & = 3 \end{align}\]



Faktorisera \( x^2\,+\,2\,x\,-\,3 \):

Hämtad från "https://matte3c.mathonline.se/index.php?title=2.3a_Lösning_10a&oldid=15416"