Skillnad mellan versioner av "2.3a Lösning 10a"

Versionen från 29 september 2014 kl. 14.48

Faktorisera \( {\color{White} x} x^3\,-\,1 {\color{White} x} \):

\[ \begin{array}{rcl} x^3\,-\,1 & = & 0 \\ x^3 & = & 1 \qquad & | \; \sqrt[3]{\;\;} \\ x & = & 1 \end{array}\]

Således: \[ \begin{array}{rcl} x^3\,-\,1 & = & (x-1) \; \cdot \; {\rm 2:a\;gradspolynom } & \\ & = & (x-1) \; \cdot \; (\; a\,x^2 \; + \; b\,x \; + \; c\; ) & = \\ & = & a\,x^3 + b\,x^2 + c\,x - a\,x^2 - b\,x - c & = \\ 1\cdot x^3 + 0\cdot x^2 + 0\cdot x - 1 & = & a\,x^3 + (b-a)\,x^2 + (c-b)\,x - c & \end{array}\]

Jämförelse av koefficienterna på höger- och vänsterled ger:

\[ \begin{array}{rcl} a & = & 1 \\ b-a & = & 0 \\ c-b & = & 0 \\ c & = & 1 \end{array}\]

Genom insättning av \( c = 3\, \) i den 4:e ekvationen får vi:

\[ \begin{align} - a^2\cdot 3 & = -27 \\ a^2 & = {27 \over 3} \\ a^2 & = 9 \\ a & = 3 \end{align}\]

Faktorisera \( x^2\,+\,2\,x\,-\,3 \):