Skillnad mellan versioner av "2.5 Deriveringsregler"

För funktionen \( f(x) = -8\,x + 9 \) blir derivatan\[ f\,'(x) = \lim_{h \to 0} \, {f(x+h) \, - \, f(x) \over h} = \lim_{h \to 0} \, {-8\, (x+h) + 9 - (-8\,x + 9) \over h} = \lim_{h \to 0} \, {-8\, x -8\, h + 9 + 8\, x - 9 \over h} = \lim_{h \to 0} \, {-8\, h \over h} = -8 \]

Påstående:

En linjär funktions derivata är konstant, närmare bestämt:

Om \( f(x) \; = \; k\cdot x \, + \, m \quad {\rm och} \quad k = {\rm const. } \quad m = {\rm const.} \)

då \( f\,'(x) \; = \; k \)

Bevis:

Om vi tillämpar derivatans definition på \( f(x) = k\cdot x + m \) kan vi skriva\[ f\,'(x) = \lim_{h \to 0} \, {f(x+h) - f(x) \over h} = \lim_{h \to 0} \, {k\cdot (x+h) + m - (k\cdot x + m) \over h} = \lim_{h \to 0} \, {k\cdot x + k\cdot h + m - k\cdot x - m \over h} = \lim_{h \to 0} \, {k\cdot h \over h} = k \]

Att \( f(x+h) = k\cdot (x+h) + m \) inser man när man i funktionen \( f(x)= k\cdot x + m \) ersätter \( x\, \) med \( x+h\, \).

Derivatan av en kvadratisk term

Vi börjar med den rena kvadratiska termen \( x^2\, \) och fortsätter sedan med en sådan som har en konstant faktor (koefficient) framför sig.

Påstående:

En kvadratisk terms derivata är linjär, närmare bestämt:

Om \( f(x) \; = \; x^2 \)

då \( f\,'(x) \; = \; 2\,x \)

Bevis:

Om vi tillämpar derivatans definition på \( f(x) = x^2\, \) kan vi skriva\[ f\,'(x) = \lim_{h \to 0} {f(x+h) - f(x) \over h} = \lim_{h \to 0} {(x+h)^2 - x^2 \over h} = \lim_{h \to 0} {(x^2 + 2\,x\,h + h^2) - x^2 \over h} = \lim_{h \to 0} {2\,x\,h + h^2 \over h} = \]

\[ = \lim_{h \to 0} {h\,(2\,x + h) \over h} = \lim_{h \to 0} \, (2\,x + h) = 2\,x \]

Att \( f(x+h) = (x+h)^2\, \) inser man när man i funktionen \( f(x)= x^2\, \) ersätter \( x\, \) med \( x+h\, \).

Vad händer med derivatan om en konstant faktor (koefficient) står framför \( x^2\, \) t.ex. \( 5\,x^2\, \) ?

Exempel:

För funktionen \( f(x) = 5\,x^2\, \) blir derivatan\[ f\,'(x) = \lim_{h \to 0} \, {f(x+h) \, - \, f(x) \over h} = \lim_{h \to 0} \, {5\, (x+h)^2 - 5\,x^2 \over h} = \lim_{h \to 0} {5\,(x^2 + 2\,x\,h + h^2) - 5\,x^2 \over h} = \lim_{h \to 0} {10\,x\,h + 5\,h^2 \over h} = \]

\[ = \lim_{h \to 0} {h\,(10\,x + 5\,h) \over h} = \lim_{h \to 0} \, (10\,x + 5\,h) = 10\,x \]

Påstående:

Om \( f(x) \; = \; a\, x^2 \quad {\rm och} \quad a = {\rm const.}\)

då \( f\,'(x) \; = \; 2\,\,a\,x \)

Bevis\[ f\,'(x) = \lim_{h \to 0} {f(x+h) - f(x) \over h} = \lim_{h \to 0} {a\,(x+h)^2 - a\,x^2 \over h} = \lim_{h \to 0} {a\,(x^2 + 2\,x\,h + h^2) - a\,x^2 \over h} = \lim_{h \to 0} {2\,a\,x\,h + a\,h^2 \over h} = \]

\[ = \lim_{h \to 0} {h\,(2\,a\,x + a\,h) \over h} = \lim_{h \to 0} \, (2\,a\,x + a\,h) = 2\,a\,x \]

Att \( f(x+h) = a\,(x+h)^2\, \) inser man när man i funktionen \( f(x)= a\,x^2\, \) ersätter \( x\, \) med \( x+h\, \).

Exempel:

För funktionen \( f(x) = -25\,x^2 \) blir derivatan:

\[ f\,'(x) \, = 2\cdot (-25)\,x = - 50\,x \]

Derivatan av en potens

Även här börjar vi med den rena termen \( x^n\, \) och fortsätter sedan med en sådan som har en konstant faktor (koefficient) framför sig.

Sats:

Om \( f(x) \; = \; x\,^n \quad {\rm och} \quad n = {\rm const.} \)

då \( f\,'(x) \; = \; n\cdot x\,^{n-1} \)

Denna regel gäller för alla \( n\, \), dvs inte bara när \( n\, \) är att positivt utan även ett negativt heltal, ja t.o.m. när \( n\, \) är ett bråktal.

Eftersom beviset kräver att man utvecklar uttrycket \( f(x) = (x+h)\,^n \) för alla positiva och negativa heltal \( n\, \) och dessutom för bråktal kan vi inte genomföra beviset, för våra matematiska kunskaper inte räcker till för det.

Regeln ovan kan anses som den viktigaste formel för derivering av elementära funktioner. Alla deriveringsregler vi bevisat hittills är specialfall av denna allmänna regel för derivering av en potens. Vi börjar med exempel som har positiva heltalsexponenter och kommer att senare ta upp negativa heltalsexponenter samt bråktal i exponenten.

Exempel:

För funktionen \( f(x) = x^5\, \) blir derivatan:

\[ f\,'(x) \, = 5\,x^4 \]

Vad händer med derivatan om en konstant faktor (koefficient) står framför \( x^n\, \) t.ex. \( 12\,x^n\, \)?

Om \( f(x) \; = \; a\,x\,^n \quad {\rm och} \quad n = {\rm const. } \quad a = {\rm const.} \)

då \( f\,'(x) \; = \; n\cdot a\,x\,^{n-1} \)

Exempel:

För funktionen \( f(x) = 12\,x^4\, \) blir derivatan:

\[ f\,'(x) \, = 4\cdot 12\,x^3 = 48\,x^3 \]

Derivatan av 1 / x

Påstående:

Om \( \displaystyle f(x) \; = \; {1 \over x} \)

då \( \displaystyle f\,'(x) \; = \; - \, {1 \over x^2} \)

Bevis (med derivatans definition):

\[ f(x+h) - f(x) = {1 \over x+h} - {1 \over x} = {x \over x\,(x+h)} - {x+h \over x\,(x+h)} = {x - (x+h) \over x\,(x+h)} = {x - x - h \over x\,(x+h)} = {- h \over x\,(x+h)} \]

\[ {f(x+h) - f(x) \over h} = {- h/h \over x\,(x+h)}= {- 1 \over x\,(x+h)} \]

\[ f\,'(x) = \lim_{h \to 0} {f(x+h) - f(x) \over h} = \lim_{h \to 0} \; {- 1 \over x\,(x+h)} = {- 1 \over x\,(x+0)} = - \, {1 \over x^2} \]

Alternativt (med deriveringsregeln för potenser):

\[ f(x) = {1 \over x} = x^{-1} \]

\[ f\,'(x) = (-1)\cdot x^{-1-1} = (-1)\cdot x^{-2} = - \, {1 \over x^2} \]

Derivatan av Roten ur x

Påstående:

Om \( f(x) \; = \; \sqrt{x} \)

då \( f\,'(x) \; = \; {1 \over 2\, \sqrt{x}} \)

Bevis (med deriveringsregeln för potenser):

\[ f(x) = \sqrt{x} = x\,^{1 \over 2} \]

\[ f\,'(x) = {1 \over 2}\cdot x\,^{{1 \over 2}-1} = {1 \over 2}\cdot x\,^{-{1 \over 2}} = {1 \over 2}\cdot {1\over x\,^{1 \over 2}} = {1 \over 2}\cdot {1\over \sqrt{x}} = {1 \over 2\, \sqrt{x}} \]

Derivatan av ett polynom

Hittills har vi betraktat isolerade termer. Men hur blir det om de summeras med varandra och på så sätt sammansätts till ett polynom?

Exempel:

För polynomfunktionen \( f(x) = -3\,x^4\,+\,9\,x^3\,-\,8\,x^2\,+\,17\,x\,-\,12 \) blir derivatan:

\[ f\,'(x) \, = -12\,x^3 + 27\,x^2 - 16\,x + 17 \]

Sats:

En polynomfunktion deriveras termvis, dvs:

Om \( f(x) = a_n\, x^n \qquad\,\, + \, a_{n-1}\, x^{n-1} \qquad\qquad + \quad \ldots \quad + a_1\, x + \, a \)

då \( f\,'(x) = n\cdot a_n \, x^{n-1} \, + \, (n-1)\cdot a_{n-1} \, x^{n-2} \, + \quad \ldots \quad + \, a_1 \)

Exempel:

För polynomfunktionen \( f(x) = {1 \over 2}\,x^4\,+\,{5 \over 6}\,x^3\,-\,0,8\,x^2\,+\,12\,x\,-\,9 \) blir derivatan:

\[ f\,'(x) \, = 4\cdot {1 \over 2}\,x^3 + 3\cdot {5 \over 6}\,x^2 - 2\cdot 0,8\,x + 12 = 2\,x^3 + {5 \over 2}\,x^2 - 1,6\,x + 12 \]

Derivatan av en summa av funktioner

Vi deriverade polynom termvis dvs genom att först derivera dess termer isolerade och sedan sätta ihop de deriverade termerna. Att detta var tillåtet beror på följande generell sats för derivering av en summa av funktioner som vi anger utan bevis:

Sats:

En summa av funktioner deriveras termvis eller:

Derivatan av en summa är summan av termernas derivator, dvs:

Om \( y = f(x) + g(x)\, \)

då \( y\,' = f\,'(x) + g\,'(x) \)

Exempel:

För funktionen \( y = {1\over x} + \sqrt{x} \) blir derivatan:

\[ y\,' \, = - {1\over x^2} + {1 \over 2\,\sqrt{x}} \]

Regeln kan utvidgas till summor av fler än två termer och gäller för summor med ändligt antal termer där termerna kan vara godtyckliga funktioner.

Derivatan av en funktion med en konstant faktor

Vi deriverade en potens med en konstant faktor dvs \( a\cdot x\,^n \) genom att derivera potensen och låta konstanten \( a\, \) stå kvar i derivatan. Kan denna regel generaliseras till alla funktioner med en konstant faktor dvs \( a\cdot f(x) \) ? Svaret är ja:

Sats:

Om \( y = a\cdot f(x) \quad {\rm och} \quad a = {\rm const.} \)

då \( y\,' = a\cdot f\,'(x) \)

Exempel:

För funktionen \( y = 6\cdot \sqrt{x} \) blir derivatan:

\[ y\,' \, = 6\cdot {1 \over 2\,\sqrt{x}} = {6 \over 2\,\sqrt{x}} = {3 \over \sqrt{x}} \]

OBS! Att derivatan av en konstant är \( 0\, \) innebär inte att derivatan av \( a\cdot f(x) \) blir \( 0\cdot f\,'(x) \) och därmed \( 0\, \). Det finns ingen regel som säger att derivatan av en produkt är produkten av faktorernas derivator. Regeln för derivatan av en konstant är: Derivatan av en "ensam" konstant är \( 0\, \). Förekommer konstanten däremot i ett uttryck måste regeln preciseras : Derivatan av en s.k. additiv konstant är \( 0\, \), dvs derivatan av \( a + f(x)\, \) blir \( 0 + f\,'(x) \) och därmed \( f\,'(x) \).

Tabell över deriveringsregler

I följande tabell är \( k,\,m,\,n \) konstanter, medan \( x\, \) och \( y\, \) är variabler.

\( y\, \)	\( y\,' \)
\( k\, \)	\( 0\, \)
\( x\, \)	\( 1\, \)
\( k\; x \)	\( k\, \)
\( k\; x \, + \, m \)	\( k\, \)
\( x^2\, \)	\( 2\,x \)
\( k\,x^2 \)	\( 2\,k\,x \)
\( x^n\, \)	\( n\cdot x\,^{n-1} \)
\( k\,x\,^n \)	\( k\cdot n\cdot x\,^{n-1} \)
\( {1 \over x} \)	\( - {1 \over x^2} \)
\( \sqrt{x} \)	\( {1 \over 2\, \sqrt{x}} \)
\( f(x) + g(x)\, \)	\( f\,'(x) + g\,'(x) \)
\( k\cdot f(x) \)	\( k\cdot f\,'(x) \)

De två sista raderna i tabellen är snarare generella satser än deriveringsregler. De gäller för alla funktioner \( f(x)\, \) och \( g(x)\, \). Av praktiska skäl tar vi upp dem ändå i samma tabell som deriveringsreglerna. Vi kommer att komplettera denna tabell så fort vi lärt oss fler deriveringsregler.

Se upp

Nästsista deriveringsregeln i tabellen visar: En summa av funktioner kan deriveras termvis.

Av detta får man inte dra slutsatsen att samma sak gäller för en produkt:

1) En produkt av funktioner kan inte deriveras faktorvis.

Exempel:

\[ y = x \cdot \sqrt x \]

\[ y\,' \neq 1 \cdot {1 \over 2\, \sqrt{x}} \]

Rätt:

\[ y = x \cdot \sqrt{x} = x^1 \cdot x\,^{1 \over 2} = x\,^{1 + {1 \over 2}} = x\,^{3 \over 2} \]

\[ y\,' = {3 \over 2}\cdot x\,^{{3 \over 2}-1} = {3 \over 2}\cdot x\,^{1 \over 2} = {3 \over 2}\cdot \sqrt x \]

2) Inte heller en kvot av funktioner kan deriveras täljaren för och nämnaren för sig. Ex.: Se deriveringsregeln för \( 1 \over x \) i tabellen ovan.

Internetlänkar

http://www.youtube.com/watch?v=vzYS8OEnngw

http://www.youtube.com/watch?v=hYKiTPB7jnQ&feature=related

Versionen från 11 oktober 2014 kl. 18.32 (visa wikitext) Taifun (Diskussion \| bidrag) m ← Äldre redigering		Versionen från 11 oktober 2014 kl. 18.33 (visa wikitext) Taifun (Diskussion \| bidrag) m Nyare redigering →
Rad 37:		Rad 37:
	För funktionen <math> {\color{White} x} f(x) = -5 {\color{White} x} </math> blir derivatan:		För funktionen <math> {\color{White} x} f(x) = -5 {\color{White} x} </math> blir derivatan:

−	:::::<math> f\,'(x) = 0 </math>	+	:::::<math> {\color{White} x} f\,'(x) = 0 </math>

Skillnad mellan versioner av "2.5 Deriveringsregler"

Versionen från 11 oktober 2014 kl. 18.33

Innehåll

Derivatan av en konstant

Derivatan av en linjär funktion

Derivatan av en kvadratisk term

Derivatan av en potens

Derivatan av 1 / x

Derivatan av Roten ur x

Derivatan av ett polynom

Derivatan av en summa av funktioner

Derivatan av en funktion med en konstant faktor

Tabell över deriveringsregler

Se upp

Internetlänkar

Navigeringsmeny

Personliga verktyg

Matematik 3c

Sök