Skillnad mellan versioner av "2.4 Lösning 6b"

Versionen från 18 oktober 2014 kl. 14.48

Eftersom beröringspunkten ligger på parabeln blir beröringspunktens koordinater:

\[ x = 1 \]

\[ y = f(1) = 1^2 + 5 \cdot 1 - 8 = 1 + 5 - 8 = -2 \]

Beröringspunktens koordinater är (1, -2).

Tangenten är en rät linje vars ekvation i \(\,k\)-form är:

\[ y \, = \, k\,x \, + \, m \]

Tangenten till kurvan    \( y = f(x) = x^2 + 5\,x - 8\, \)    i    \( x = 1 \)    har samma lutning \(\,k\) som själva kurvan i denna punkt. Kurvans lutning i   \( x = 1 \)   är   \( f\,'(1) \) :

\[ k \, = \, f\,'(1) \]

Från uppgiftens del a) har vi att \( f\,'(1) = 7 \). Således:

\[ k \, = \, 7 \]

Således är   \( k = 7\, \)   och tangentens ekvation blir:

\[ y \, = \, 7\,x \, + \, m \]

För att få fram \( m\, \) sätter vi in beröringspunktens koordinater (1, -2) i tangentens ekvation, eftersom beröringspunkten ligger även på tangenten:

\[\begin{array}{rcl} y & = & 7\,x \, + \, m \\ -2 & = & 7 \cdot 1 \, + \, m \\ -2 & = & 7 \, + \, m \\ -2 - 7 & = & m \\ - 9 & = & m \end{array}\]

Tangentens ekvation:

\[ y \, = \, 7\,x \, - \, 9 \]