Skillnad mellan versioner av "2.4 Lösning 10b"
Taifun (Diskussion | bidrag) m |
Taifun (Diskussion | bidrag) m |
||
| Rad 3: | Rad 3: | ||
::<math> k \, = \, 1 </math> | ::<math> k \, = \, 1 </math> | ||
| − | Å andra sidan har tangenten samma lutning som själva kurvan <math> y = f(x) = 2\,x^2 - 3\,x - 4 </math> i den okända beröringspunkten <math> x </math>. Kurvans lutning i denna punkt är <math> f\,'(x) </math>. För att få fram <math> x\, </math> bildar vi derivatan, sätter den till tangentens lutningen <math> k = 1 </math> och beräknar beröringspunkten <math> | + | Å andra sidan har tangenten samma lutning som själva kurvan <math> y = f(x) = 2\,x^2 - 3\,x - 4 </math> i den okända beröringspunkten <math> x </math>. Kurvans lutning i denna punkt är <math> f\,'(x) </math>. För att få fram <math> x\, </math> bildar vi derivatan, sätter den till tangentens lutningen <math> k = 1 </math> och beräknar beröringspunkten <math> \,x</math>-koordinat: |
:<math>\begin{array}{lcll} f(x) & = & 2\,x^2 - 3\,x - 4 \\ | :<math>\begin{array}{lcll} f(x) & = & 2\,x^2 - 3\,x - 4 \\ | ||
f\,'(x) & = & 4\,x - 3 & = & 1 \\ | f\,'(x) & = & 4\,x - 3 & = & 1 \\ | ||
| − | & | + | & & 4\,x & = & 4 \\ |
| − | & | + | & & x & = & 1 \\ |
\end{array}</math> | \end{array}</math> | ||
| − | + | För att få fram beröringspunktens <math> \,y</math>-koordinat sätter vi <math> \,x</math>-koordinaten i kurvans ekvation: | |
| − | + | ||
| − | + | ||
| − | + | ||
| − | + | ||
| − | + | ||
| − | + | ||
| − | + | ||
| − | + | ||
| − | + | ||
| − | För att få fram <math> | + | |
| − | + | ||
| − | + | ||
| − | : | + | |
| + | ::<math> y = f(1) = 2 \cdot 1^2 - 3 \cdot 1 - 4 = 2 - 3 - 4 = -5 </math> | ||
| + | +++ | ||
Sedan sätter vi in beröringspunktens koordinater i tangentens ekvation, eftersom beröringspunkten ligger på tangenten: | Sedan sätter vi in beröringspunktens koordinater i tangentens ekvation, eftersom beröringspunkten ligger på tangenten: | ||
Versionen från 19 oktober 2014 kl. 15.30
Eftersom tangenten är parallell till linjen \( y = x - 4\, \) som har lutningen 1, är även tangentens lutningen:
- \[ k \, = \, 1 \]
Å andra sidan har tangenten samma lutning som själva kurvan \( y = f(x) = 2\,x^2 - 3\,x - 4 \) i den okända beröringspunkten \( x \). Kurvans lutning i denna punkt är \( f\,'(x) \). För att få fram \( x\, \) bildar vi derivatan, sätter den till tangentens lutningen \( k = 1 \) och beräknar beröringspunkten \( \,x\)-koordinat:
\[\begin{array}{lcll} f(x) & = & 2\,x^2 - 3\,x - 4 \\ f\,'(x) & = & 4\,x - 3 & = & 1 \\ & & 4\,x & = & 4 \\ & & x & = & 1 \\ \end{array}\]
För att få fram beröringspunktens \( \,y\)-koordinat sätter vi \( \,x\)-koordinaten i kurvans ekvation:
- \[ y = f(1) = 2 \cdot 1^2 - 3 \cdot 1 - 4 = 2 - 3 - 4 = -5 \]
+++ Sedan sätter vi in beröringspunktens koordinater i tangentens ekvation, eftersom beröringspunkten ligger på tangenten:
\[\begin{array}{rcl} y & = & 3\,x \, + \, m \\ -5 & = & 3 \cdot (-1) \, + \, m \\ -5 & = & -3 \, + \, m \\ -5 + 3 & = & m \\ - 2 & = & m \end{array}\]
Tangentens ekvation:
- \[ y \, = \, 3\,x \, - \, 2 \]
