Skillnad mellan versioner av "2.5 Lösning 8"
Taifun (Diskussion | bidrag) m |
Taifun (Diskussion | bidrag) m |
||
| Rad 1: | Rad 1: | ||
| − | Vi sätter <math> t = 0 \, </math> vid kl 20 när kroppstemperaturen uppmättes till 31 grader. Därmed sätts starttemperaturen till <math> T_0 = 31\, </math>. Med rumstemperaturen | + | Vi sätter <math> t = 0 \, </math> vid kl 20 när kroppstemperaturen uppmättes till 31 grader. Därmed sätts starttemperaturen till <math> T_0 = 31\, </math>. Med rumstemperaturen <math> T_r = 18\, </math> vid undersökningen blir modellen: |
:<math> \begin{array}{rcl} T\,(t) & = & (T_0 - T_r)\cdot e\,^{k\,t} \,+\, T_r \\ | :<math> \begin{array}{rcl} T\,(t) & = & (T_0 - T_r)\cdot e\,^{k\,t} \,+\, T_r \\ | ||
| Rad 23: | Rad 23: | ||
Med detta värde för <math> k\, </math> specificerar vi vår modell: | Med detta värde för <math> k\, </math> specificerar vi vår modell: | ||
| − | ::::::<math> T\,(t) \, = \, | + | ::::::<math> T\,(t) \, = \, (T_0 - T_r)\cdot e\,^{-\,0,0095501058\,t} \,+\, T_r </math> |
| − | + | Nu bestämmer vi tiden <math> t \, </math> när mordet skedde: | |
| − | + | Vi denna tid var kroppstemperaturen normal <math>-</math> antagligen 37 grader. Därmed sätts starttemperaturen till <math> T_0 = 37\, </math>. Med rumstemperaturen <math> T_r = 18\, </math> på kontoret där mordet skedde blir modellen: | |
| − | + | ::::::<math> \begin{array}{rcl} T\,(t) & = & (37 - 18)\cdot e\,^{-\,0,0095501058\,t} \,+\, 18 \\ | |
| + | T\,(t) & = & 19\cdot e\,^{-\,0,0095501058\,t} \,+\, 18 | ||
| + | \end{array}</math> | ||
+++ | +++ | ||
Versionen från 2 november 2014 kl. 13.57
Vi sätter \( t = 0 \, \) vid kl 20 när kroppstemperaturen uppmättes till 31 grader. Därmed sätts starttemperaturen till \( T_0 = 31\, \). Med rumstemperaturen \( T_r = 18\, \) vid undersökningen blir modellen:
\[ \begin{array}{rcl} T\,(t) & = & (T_0 - T_r)\cdot e\,^{k\,t} \,+\, T_r \\ T\,(t) & = & (31 - 18)\cdot e\,^{k\,t} \,+\, 18 \\ T\,(t) & = & 13 \cdot e\,^{k\,t} \,+\, 18 \end{array}\]
Vi bestämmer \( k \, \):
\[ \begin{array}{rcl} T\,'(t) & = & 13 \cdot k \cdot e\,^{k\,t} \end{array}\]
"Kroppstemperaturen minskade med 0,07 grader i timmen vid kl 21" innebär:
\[ \begin{array}{rcrcl} T\,'(60) & = & 13 \cdot k \cdot e\,^{k\,\cdot\,60} & = & -\,0,07 \\ & & 13 \cdot k \cdot e\,^{60\,k} & = & -\,0,07 \\ & & 13\,k\,e\,^{60\,k} \,+\, 0,07 & = & 0 \end{array}\]
För att lösa ekvationen ovan för \( k\, \) används grafräknaren. Ett startvärde för räknarens ekvationslösare erhålls genom att rita grafen till funktionen \( y \,=\, 13\,x\,e\,^{60\,x} + 0,07 \) och avläsa nollstället, vilket ger närmevärdet \( x \approx -\,0,01 \) . Enligt instruktionerna i EQUATION SOLVER får vi med detta startvärde följande lösning:
- \[ x \,=\, -\,0,0095501058\ldots \,=\, k \]
Med detta värde för \( k\, \) specificerar vi vår modell:
- \[ T\,(t) \, = \, (T_0 - T_r)\cdot e\,^{-\,0,0095501058\,t} \,+\, T_r \]
Nu bestämmer vi tiden \( t \, \) när mordet skedde:
Vi denna tid var kroppstemperaturen normal \(-\) antagligen 37 grader. Därmed sätts starttemperaturen till \( T_0 = 37\, \). Med rumstemperaturen \( T_r = 18\, \) på kontoret där mordet skedde blir modellen:
- \[ \begin{array}{rcl} T\,(t) & = & (37 - 18)\cdot e\,^{-\,0,0095501058\,t} \,+\, 18 \\ T\,(t) & = & 19\cdot e\,^{-\,0,0095501058\,t} \,+\, 18 \end{array}\]
+++
Antalet bakterier har säkert överstigit \( 2\,000 \) och mjölken har blivit sur efter
- \[ 9\;{\rm timmar\;och\;} 37\;{\rm minuter} \]
