Skillnad mellan versioner av "2.5 Lösning 8"
Taifun (Diskussion | bidrag) m |
Taifun (Diskussion | bidrag) m |
||
| Rad 27: | Rad 27: | ||
Nu bestämmer vi tiden <math> t \, </math> när mordet skedde: | Nu bestämmer vi tiden <math> t \, </math> när mordet skedde: | ||
| − | Vi antar att kroppstemperaturen vid den tid då mordet skedde, var normal dvs 37 grader. Därför sätter vi i modellen ovan kroppstemperaturen <math> T\,(t) </math> vid denna tid till <math> 37\, </math> grader: | + | Vi antar att kroppstemperaturen vid den tid då mordet skedde, var normal dvs <math> 37\, </math> grader. Därför sätter vi i modellen ovan kroppstemperaturen <math> T\,(t) </math> vid denna tid till <math> 37\, </math> grader och löser ekvationen för <math>\,t </math>: |
::::::<math> \begin{array}{rclcl} T\,(t) & = & 13\, e\,^{-\,0,0095501058\,t} \,+\, 18 & = & 37 \\ | ::::::<math> \begin{array}{rclcl} T\,(t) & = & 13\, e\,^{-\,0,0095501058\,t} \,+\, 18 & = & 37 \\ | ||
| Rad 34: | Rad 34: | ||
\end{array}</math> | \end{array}</math> | ||
| − | + | Även denna ekvation löser vi med grafräknaren. Ett startvärde för räknarens ekvationslösare erhålls genom att rita grafen till funktionen <math> y = 13\,e\,^{-\,0,0095501058\,x} - 19 </math> och avläsa nollstället, vilket ger närmevärdet <math> x \approx -\,40 </math> . Enligt instruktionerna får vi med detta startvärde i [[1.1_Fördjupning_till_Polynom#EQUATION_SOLVER|<strong><span style="color:blue">EQUATION SOLVER</span></strong>]] följande lösning: | |
| + | |||
| + | ::::::<math> x \,=\, -\,39,7367\ldots \,=\, t </math> | ||
Versionen från 2 november 2014 kl. 20.03
Vi sätter \( t = 0 \, \) vid kl 20 när kroppstemperaturen uppmättes till 31 grader. Därmed sätts starttemperaturen till \( T_0 = 31\, \). Med rumstemperaturen \( T_r = 18\, \) vid undersökningen blir modellen:
\[ \begin{array}{rcl} T\,(t) & = & (T_0 - T_r)\cdot e\,^{k\,t} \,+\, T_r \\ T\,(t) & = & (31 - 18)\cdot e\,^{k\,t} \,+\, 18 \\ T\,(t) & = & 13 \cdot e\,^{k\,t} \,+\, 18 \end{array}\]
Vi bestämmer \( k \, \):
\[ \begin{array}{rcl} T\,'(t) & = & 13 \cdot k \cdot e\,^{k\,t} \end{array}\]
"Kroppstemperaturen minskade med 0,07 grader i timmen vid kl 21" innebär:
\[ \begin{array}{rcrcl} T\,'(60) & = & 13 \cdot k \cdot e\,^{k\,\cdot\,60} & = & -\,0,07 \\ & & 13 \cdot k \cdot e\,^{60\,k} & = & -\,0,07 \\ & & 13\,k\,e\,^{60\,k} \,+\, 0,07 & = & 0 \end{array}\]
För att lösa ekvationen ovan för \( k\, \) används grafräknaren. Ett startvärde för räknarens ekvationslösare erhålls genom att rita grafen till funktionen \( y \,=\, 13\,x\,e\,^{60\,x} + 0,07 \) och avläsa nollstället, vilket ger närmevärdet \( x \approx -\,0,01 \) . Enligt instruktionerna får vi med detta startvärde i EQUATION SOLVER följande lösning:
- \[ x \,=\, -\,0,0095501058\ldots \,=\, k \]
Med detta värde för \( k\, \) specificerar vi vår modell:
- \[ T\,(t) \, = \, 13\cdot e\,^{-\,0,0095501058\,t} \,+\, 18 \]
Nu bestämmer vi tiden \( t \, \) när mordet skedde:
Vi antar att kroppstemperaturen vid den tid då mordet skedde, var normal dvs \( 37\, \) grader. Därför sätter vi i modellen ovan kroppstemperaturen \( T\,(t) \) vid denna tid till \( 37\, \) grader och löser ekvationen för \(\,t \):
- \[ \begin{array}{rclcl} T\,(t) & = & 13\, e\,^{-\,0,0095501058\,t} \,+\, 18 & = & 37 \\ & & 13\, e\,^{-\,0,0095501058\,t} \,+\, 18 \,-\, 37 & = & 0 \\ & & 13\, e\,^{-\,0,0095501058\,t} \,-\, 19 & = & 0 \end{array}\]
Även denna ekvation löser vi med grafräknaren. Ett startvärde för räknarens ekvationslösare erhålls genom att rita grafen till funktionen \( y = 13\,e\,^{-\,0,0095501058\,x} - 19 \) och avläsa nollstället, vilket ger närmevärdet \( x \approx -\,40 \) . Enligt instruktionerna får vi med detta startvärde i EQUATION SOLVER följande lösning:
- \[ x \,=\, -\,39,7367\ldots \,=\, t \]
