Skillnad mellan versioner av "2.7 Numerisk derivering"

Versionen från 7 november 2014 kl. 08.47

Lektion 29 Dagens program

Varför numerisk derivering?

Numerisk derivering är en metod för approximativ (ungefärlig) beräkning av derivatan. Med hjälp av numeriska deriveringsformler beräknas ett närmevärde för derivatan.

Frågan uppstår: varför ska vi ta fram ett närmevärde när vi kan få derivatans exakta värde med hjälp av de deriveringsregler vi ställde upp i de två sista avsnitten? Svaret är: Det finns typer av funktioner som inte matchar någon av de deriveringsregler vi lärt oss. Det finns t.o.m. typer av funktioner som inte har någon deriveringsregel alls. Eller det är i praktiken svårt \(-\) ibland kanske onödigt \(-\) att beräkna derivatan exakt. Men i vilka situationer ska man använda numerisk derivering?

Vi ska titta på den numeriska deriveringens användningsområden:

1) När vi ska derivera t.ex. följande funktion:

\[ f(x) = {1 \over x + 1} \]

konstaterar vi att den inte matchar med någon funktionstyp i vår deriveringstabell. Den kan inte deriveras med någon av de deriveringsregler vi känner till hittills. Funktionen i fråga är nämligen en kvot av två funktioner som inte kan skrivas om till en potens, vilket vi t.ex. kunde göra med \( y = {1 \over x} \). Därför kan vi inte derivera \( f(x) \, \) mit våra hittills kända deriveringsregler. Först i Matte 4-kursen lär man sig den s.k. kvotregeln, se även [[|]].

Ett annat exempel är \( f(x) = \ln x\, \) som inte heller matchar mot någon funktionstyp i vår deriveringstabell och vars numerisk derivering visas i Exempel 2 längre fram.

2) När vi har en funktion vars derivata blir så komlicerad att det tar mer tid att ställa upp den än att genomföra numerisk derivering. Exempel:

\[ f(x) = {\sin\,3\,x \over 4\,\cos\,x} \]

\[ f\,'(x) = {12\,\cos\,3\,x \cdot \cos\,x \,+\, 4\,\sin\,3\,x \cdot \sin\,x \over 16\,\cos^2\,x} \]

För det första är det inte enkelt att ställa upp \( f\,'(x) \). Även detta görs med kvotregeln som vi inte känner till.

För det andra ser man att det är väsentligt enklare att beräkna t.ex. \( f(2)\, \) än \( f\,'(2) \). I de numeriska deriveringsformlerna ingår nämligen endast beräkningar av \( f(x)\, \), inte av \( f\,'(x) \).

3) När vi ska derivera en funktion som saknar algebraisk formel och är endast given i tabellform, dvs numeriskt. Pga avsaknaden av en formel finns det ingen annan möjlighet att derivera den än numerisk derivering. Ett exempel:

Sådana funktioner förekommer ofta som resultat av mätdata utan någon formel. Ändå uppfyller de definitionen på en funktion, nämligen att vara en

"Regel som tilldelar varje \( x\, \)-värde endast ett \( y\, \)-värde."

Det finns en uppsjö av numeriska deriveringsformler. Vi behandlar i detta avsnitt de tre enklaste:

• Framåtdifferenskvoten

• Bakåtdifferenskvoten

• Centrala differenskvoten

Framåtdifferenskvoten

Derivatan \( f\,'(a) \) av funktionen \( y = f\,(x) \) i punkten \( x = a\, \) kan approximeras med Framåtdifferenskvoten:

\( h\, \) kallas steglängden. Approximationen är desto bättre ju mindre steglängden är.

Exempel 1

Givet:

Följande funktion \( f(x)\, \) i tabellform:

\( x\, \)	\( f(x)\, \)
\( 0,5\, \)	\( 1,79744\, \)
\( 0,6\, \)	\( 2,04424\, \)
\( 0,7\, \)	\( 2,32751\, \)

Sökt:

Funktionens derivata i \( x = 0,6\, \) dvs \( f\,'(0,6) \) med framåtdifferenskvoten.

Lösning:

Steglängden \( h = 0,1\, \) är given i tabellen.

\[ f\,'(0,6) = {f(0,6 + 0,1) - f(0,6) \over 0,1} = {f(0,7) - f(0,6) \over 0,1} = {2,32751 - 2,04424 \over 0,1} = {0,28327 \over 0,1} = 2,8327 \]

Bakåtdifferenskvoten

Derivatan \( f\,'(a) \) av funktionen \( y = f\,(x) \) i punkten \( x = a\, \) kan approximeras med Bakåtdifferenskvoten:

Även här gäller att approximationen är desto bättre ju mindre steglängden \( h\, \) är.

Exempel 2

Givet:

Funktionen \( f(x) = \ln x\, \)

Steglängden \( h = 0,01\, \)

Sökt:

Funktionens derivata i \( x = 1,8\, \) dvs \( f\,'(1,8) \) med bakåtdifferenskvoten .

Lösning:

\[ f\,'(1,8) \approx {f(1,8) - f(1,8 - 0,01) \over 0,01} = {f(1,8) - f(1,79) \over 0,01} = {\ln(1,8) - \ln(1,79) \over 0,01} = 0,5571 \]

Det exakta värdet avrundat till 4 decimaler är \( f\,'(1,8) = 0,5556\, \).

Centrala differenskvoten

Derivatan \( f\,'(a) \) av funktionen \( y = f\,(x) \) i punkten \( x = a\, \) kan approximeras med Centrala differenskvoten:

Approximationen är desto bättre ju mindre \( h\, \) är.

Exempel 3

Givet:

Funktionen \( f(x) = x\,^2 \)

Steglängden \( h = 0,5\, \)

Sökt:

Funktionens derivata i \( x = 1\, \) dvs \( f\,'(1) \) med centrala differenskvoten .

Lösning:

\[ f\,'(1) \approx {f(1 + 0,5) - f(1 - 0,5) \over 2\cdot 0,5} = {f(1,5) - f(0,5) \over 2\cdot 0,5} = {1,5^2 - 0,5^2 \over 1} = 2 \]

Funktionens derivata är \( f\,'(x) = 2\,x \) och därmed det exakta värdet \( f\,'(1) = 2 \cdot 1 = 2 \).

Noggrannhetsbedömning

Är det en slump att den numeriska deriveringen med centrala differenskvoten i Exempel 3 ger exakt värde, fast steglängden är relativt stor?

Svaret är nej: Den centrala differenskvoten deriverar alla 2:a gradsfunktioner (och förstås även alla 1:a gradsfunktioner) exakt oberoende av steglängden. Här följer beviset:

Sats:

Bevis:

\[ {f(x + h) - f(x-h) \over 2\,h} = {(x+h)^2 - (x-h)^2 \over 2\,h} = {(x^2 + 2\,x\,h + h^2) - (x^2 - 2\,x\,h + h^2) \over 2\,h} = \]

\[ = {x^2 + 2\,x\,h + h^2 - x^2 + 2\,x\,h - h^2 \over 2\,h} = {4\,x\,h \over 2\,h} = 2\,x = f\,'(x) \]

Det räcker att bevisa satsen för \( f(x) = x^2\, \) som an slags representant för alla 2:a gradsfunktioner, eftersom \( x^2\, \) är den avgörande termen för 2:a gradsfunktioner.

Självfallet går det att bevisa satsen även för \( f(x) = a\,x^2 + b\,x + c \). Det tar bara lite längre att räkna.

Resultatet är det samma: Den centrala differenskvoten deriverar alla 2:a gradsfunktioner exakt. Att detta är oberoende av steglängden visas i beviset ovan genom att \( h\, \) förkortas bort i slutet.

Copyright © 2011-2014 Taifun Alishenas. All Rights Reserved.