Skillnad mellan versioner av "3.2 Lokala maxima och minima"

Från Mathonline
Hoppa till: navigering, sök
m (→‎Exempel 1 Vinternattens kallaste tidpunkt)
m (→‎Exempel 1 Vinternattens kallaste tidpunkt)
Rad 77: Rad 77:
 
   \end{array}</math>
 
   \end{array}</math>
  
−
Nu vet vi att derivatan i <math> x = 5 \, </math> är <math> \, 0 </math> dvs tangenten till kurvan <math> y = f(x) \, </math> är horisontell i <math> x = 5 \, </math>. Men en horisontell tangent kan vara ett maximum eller ett minimum. Därför kräver regeln dessutom andraderivatans förtecken. Därför  
+
Nu vet vi att derivatan blir <math> \, 0 </math> i <math> x = 5 \, </math> dvs tangenten till kurvan <math> y = f(x) \, </math> är horisontell i <math> x = 5 \, </math>. Men en horisontell tangent kan vara ett maximum eller ett minimum. För att avgöra om det föreligger ett maximum eller ett minimum kräver regeln andraderivatans förtecken. Därför sätter vi <math> x = 5 \, </math> in i andraderivatan och kollar om den blir positiv eller negativ:
  
−
För att få reda på andraderivatans förtecken <math>-</math> som r
+
::<math> f''(5) = 0,48 \,>\, 0 </math>
 +
 
 +
Andraderivatan är positiv (konstant) för alla <math> x \, </math> och därmed även för <math> x = 5 \, </math>. Därav följer att <math> f(x) \, </math> har ett minimum i <math> x = 5 \, </math>.
  
 
&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; Alltså är <u>nattens kallaste tidpunkt kl 5</u>.
 
&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; Alltså är <u>nattens kallaste tidpunkt kl 5</u>.
Rad 88: Rad 90:
  
 
&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; Alltså är <u>nattens lägsta temperatur 1 grad Celsius</u>.
 
&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; Alltså är <u>nattens lägsta temperatur 1 grad Celsius</u>.
−
 
−
c) &nbsp; På bilden till vänster är kurvan <math> {\color{White} x} f(x) = 0,24\,x^2 - 2,4\,x + 7 {\color{White} x} </math> samt tangenterna till den i <math> x = 2 \, , \; x = 5 </math> och <math> x = 7 \, </math> ritade i samma koordinatsystem.
 
−
 
−
&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; Till höger visas grafen till derivatan <math> {\color{White} x} f'(x) = 0,48\,x - 2,4 {\color{White} x} </math> som är en rät linje i ett annat koordinatsystem:
 
−
 
−
&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; [[Image: Ex 1 Vinternatt Tangenter.jpg]]
 
−
 
−
På bilden till vänster ser man att temperaturen <math> f(x) \, </math> sjunker från 7 grader Celsius vid midnatt till 1 grad vid kl 5 på morgonen. I hela detta tidsintervall avtar <math> f(x) \, </math> vilket innebär att derivatan <math> f'(x) \, </math> är negativ. Ett exempel på det är <math> f'(2) = -1,44\, </math>, dvs tangenten till kurvan i <math> x = 2 \, </math> har negativ lutning<span style="color:black">:</span> <math> f' < 0\, </math>.
 
−
 
−
Vid kl 5 på morgonen har temperaturen <math> f(x) \, </math> nått sitt minimum på 1 grad Celsius vilket innebär att derivatan <math> f'\, </math> i denna punkt är 0, dvs tangenten till kurvan i derivatan <math> f'(x) \, </math>  har lutningen 0<span style="color:black">:</span> <math> f'(5) = 0\, </math>.
 
−
 
−
Sedan stiger temperaturen <math> f(x) \, </math> från 1 grad Celsius vid kl 5  till lite under 4 grader Celsius vid kl 8 på morgonen. I hela detta tidsintervall växer <math> f(x) \, </math> vilket innebär att derivatan <math> f'(x) \, </math> är positiv. Ett exempel på det är <math> f'(7) = 0,96\, </math>, dvs tangenten till kurvan i <math> x = 7 \, </math> har positiv lutning<span style="color:black">:</span> <math> f' > 0\, </math>.
 
−
 
−
På bilden till höger är endast grafen till derivatan <math> f\,'(x) \, </math> avbildad. Man ser att den är negativ för alla värden <math> x < 5 \, </math> och positiv för alla värden <math> x > 5 \, </math>. I <math> x = 5 \, </math> skär grafen <math> \, x-</math>axeln, dvs derivatan är 0 <math> - \, </math> allt i överensstämmelse med resultaten från <math> f(x) \, </math> på den vänstra bilden. Att grafen till derivatan är en rät linje beror på att den ursprungliga funktionen <math> f(x) \, </math> är en 2:a gradsfunktion.
 

Versionen från 17 november 2014 kl. 15.47

       <-- Förra avsnitt          Teori          Övningar          --> Nästa avsnitt      


Lektion xx Maxima och minima


Regler om maxima och minima

:

Derivatans nollställen och andraderivatans förtecken avgör för vilka \(\, x \) en funktion har maxima och minima:


Funktionen \( {\color{White} x} y \, = \, f(x) {\color{White} x} \) har ett maximum i \( {\color{White} x} x = a {\color{White} x} \) om derivatan \( {\color{White} x} f\,'(a) \, = \, 0 {\color{White} x} \) och andraderivatan \( {\color{White} x} f\,''(a) \, {\bf {\color{Red} <}} \, 0 {\color{White} x}. \)

Funktionen \( {\color{White} x} y \, = \, f(x) {\color{White} x} \) har ett minimum i \( {\color{White} x} x = a {\color{White} x} \) om derivatan \( {\color{White} x} f\,'(a) \, = \, 0 {\color{White} x} \) och andraderivatan \( {\color{White} x} f\,''(a) \, {\bf {\color{Red} >}} \, 0 {\color{White} x}. \)


Med andraderivatan menas derivatans derivata. Man får andraderivatan genom att derivera derivatans funktion ett steg till. Sammanlagt har man då deriverat den ursprungliga funktionen två gånger.

Med derivatan menas alltid första derivatan. Med maximum menas en funktions största och med minimum en funktions minsta värde.

Där derivatan är \( \, = \, 0 {\color{White} x} \) och andraderivatan är negativ har funktionen ett maximum.

Där derivatan är \( \, = \, 0 {\color{White} x} \) och andraderivatan är positiv har funktionen ett minimum.

Vilka slutsatser man kan dra när både första- och andraderivatan är \( \, = \, 0 {\color{White} x} \) behandlas senare.

I grafen till exemplet nedan visas en funktion som har ett minimum. Men hur avgörs detta algebraiskt och framför allt hur hittas detta minimum dvs hur beräknas för vilket \(\, x \) funktionen antar sitt minsta värde?


Exempel 1 Vinternattens kallaste tidpunkt

Vi återgår till Exempel 1 i förra avsnitt, men byter frågeställning: Vi tittar inte längre på funktionens växande eller avtagande utan på funktionens minsta värde (minimum):

Under en vinternatt varierar temperaturen enligt funktionen \( {\color{White} x} \; y \, = \, f(x) \, = \, 0,24\,x^2\,-\,2,4\,x\,+\,7 {\color{White} x} \; \) med definitionsområdet: \( \quad 0 \leq x \leq 8 \).

där    \( y \; = \)   temperaturen i grader Celsius och

        \( x \; = \)   tiden i timmar efter midnatt

a)   Bestäm nattens kallaste tidpunkt.

b)   Bestäm nattens lägsta temperatur.

Ex 1 Vinternatt Funktionen.jpg      Ex 1 Vinternatt Derivatana.jpg      Ex 1 Vinternatt Andraderivatan.jpg


Lösning:

a)   För att kunna använda reglerna om maxima och minima ställer vi upp första- och andraderivatan:

\[ f(x) \, = \, 0,24\,x^2 - 2,4\,x + 7 \]
\[ f'(x) \, = \, 0,48\,x - 2,4 \]
\[ f''(x) \, = \, 0,48 \]

Graferna till dessa tre funktioner visas ovan.

För att få reda på derivatans nollställe som regeln kräver sätter vi derivatan till \( \, 0 \) och beräknar tidpunkten \( x \, \) då derivatan blir \( \, 0 \):

\[\begin{array}{rcrcl} f'(x) & = & 0,48\,x - 2,4 & = & 0 \\ & & 0,48\,x & = & 2,4 \\ & & x & = & {2,4 \over 0,48} \\ & & x & = & 5 \end{array}\]

Nu vet vi att derivatan blir \( \, 0 \) i \( x = 5 \, \) dvs tangenten till kurvan \( y = f(x) \, \) är horisontell i \( x = 5 \, \). Men en horisontell tangent kan vara ett maximum eller ett minimum. För att avgöra om det föreligger ett maximum eller ett minimum kräver regeln andraderivatans förtecken. Därför sätter vi \( x = 5 \, \) in i andraderivatan och kollar om den blir positiv eller negativ:

\[ f''(5) = 0,48 \,>\, 0 \]

Andraderivatan är positiv (konstant) för alla \( x \, \) och därmed även för \( x = 5 \, \). Därav följer att \( f(x) \, \) har ett minimum i \( x = 5 \, \).

      Alltså är nattens kallaste tidpunkt kl 5.

b)   Temperaturen vid kl \( 5 \, \) är:

\[ f(5) = 0,24 \cdot 5^2 - 2,4 \cdot 5 + 7 = 1 \]

      Alltså är nattens lägsta temperatur 1 grad Celsius.

Hämtad från "https://matte3c.mathonline.se/index.php?title=3.2_Lokala_maxima_och_minima&oldid=17695"