Skillnad mellan versioner av "3.2 Lösning 5b"
Taifun (Diskussion | bidrag) (Skapade sidan med 'Derivatans nollställen från 5a) sorterade efter storlek (omnumrerade): :::<math> \begin{array}{rcl} x_1 & = & -2 \\ x_2 & = & 0 \\...') |
Taifun (Diskussion | bidrag) m |
||
| Rad 8: | Rad 8: | ||
Lösning med [[3.2_Maxima_och_minima#Regler_om_maxima_och_minima_med_andraderivata|<strong><span style="color:blue">andraderivata</span></strong>]]: | Lösning med [[3.2_Maxima_och_minima#Regler_om_maxima_och_minima_med_andraderivata|<strong><span style="color:blue">andraderivata</span></strong>]]: | ||
| − | ::<math> \begin{array}{rcl} f | + | ::<math> \begin{array}{rcl} f(x) & = & {x^4 \over 4} \, - \, 2\,x^2 \\ |
| − | f''(x) & = & | + | f'(x) & = & x^3 - 4\,x \\ |
| + | f''(x) & = & 3\,x^2 - 4 | ||
\end{array}</math> | \end{array}</math> | ||
| − | <b>Nollställe 1:</b> <math> {\color{White} x} x_1 = | + | <b>Nollställe 1:</b> <math> {\color{White} x} x_1 = -2 \quad {\color{White} x} </math> |
| − | Vi sätter in <math> x_1 = | + | Vi sätter in <math> x_1 = -2 \, </math> i andraderivatan: |
| − | ::<math> f''( | + | ::<math> f''(-2) \, = \, 3\cdot (-2)^2 - 4 = 8 > 0 </math> |
| − | Andraderivatan är positiv för <math> x_1 = | + | Andraderivatan är positiv för <math> x_1 = -2 \, </math>. Alltså har <math> f(x) \, </math> ett minimum i <math> x_1 = -2 \, </math>. |
| − | <b>Nollställe 2:</b> <math> {\color{White} x} x_2 = | + | <b>Nollställe 2:</b> <math> {\color{White} x} x_2 = 0 \quad {\color{White} x} </math> |
| − | Vi sätter in <math> x_2 = | + | Vi sätter in <math> x_2 = 0 \, </math> in i andraderivatan: |
| − | ::<math> f''( | + | ::<math> f''(0) \, = \, 3\cdot 0^2 - 4 = -4 < 0 </math> |
| − | Andraderivatan är negativ för <math> x_2 = | + | Andraderivatan är negativ för <math> x_2 = 0 \, </math>. Alltså har <math> f(x) \, </math> ett maximum i <math> x_2 = 0 \, </math>. |
| − | + | <b>Nollställe 3:</b> <math> {\color{White} x} x_3 = 2 \quad {\color{White} x} </math> | |
| − | + | Vi sätter in <math> x_3 = 2 \, </math> in i andraderivatan: | |
| − | ::<math> f( | + | ::<math> f''(2) \, = \, 3\cdot 2^2 - 4 = 8 < 0 </math> |
| − | + | Andraderivatan är positiv för <math> x_3 = 2 \, </math>. Alltså har <math> f(x) \, </math> ett minimum i <math> x_3 = 2 \, </math>. | |
| − | + | Alla extrempunkter: | |
| − | + | <math> x_1 = -2 \, </math> är en minimipunkt. | |
| + | |||
| + | <math> x_2 = 0 \, </math> är en maximipunkt. | ||
| + | |||
| + | <math> x_3 = 2 \, </math> är en minimipunkt. | ||
Versionen från 13 december 2014 kl. 20.55
Derivatans nollställen från 5a) sorterade efter storlek (omnumrerade):
- \[ \begin{array}{rcl} x_1 & = & -2 \\ x_2 & = & 0 \\ x_3 & = & 2 \end{array}\]
Lösning med andraderivata:
- \[ \begin{array}{rcl} f(x) & = & {x^4 \over 4} \, - \, 2\,x^2 \\ f'(x) & = & x^3 - 4\,x \\ f''(x) & = & 3\,x^2 - 4 \end{array}\]
Nollställe 1: \( {\color{White} x} x_1 = -2 \quad {\color{White} x} \)
Vi sätter in \( x_1 = -2 \, \) i andraderivatan:
- \[ f''(-2) \, = \, 3\cdot (-2)^2 - 4 = 8 > 0 \]
Andraderivatan är positiv för \( x_1 = -2 \, \). Alltså har \( f(x) \, \) ett minimum i \( x_1 = -2 \, \).
Nollställe 2: \( {\color{White} x} x_2 = 0 \quad {\color{White} x} \)
Vi sätter in \( x_2 = 0 \, \) in i andraderivatan:
- \[ f''(0) \, = \, 3\cdot 0^2 - 4 = -4 < 0 \]
Andraderivatan är negativ för \( x_2 = 0 \, \). Alltså har \( f(x) \, \) ett maximum i \( x_2 = 0 \, \).
Nollställe 3: \( {\color{White} x} x_3 = 2 \quad {\color{White} x} \)
Vi sätter in \( x_3 = 2 \, \) in i andraderivatan:
- \[ f''(2) \, = \, 3\cdot 2^2 - 4 = 8 < 0 \]
Andraderivatan är positiv för \( x_3 = 2 \, \). Alltså har \( f(x) \, \) ett minimum i \( x_3 = 2 \, \).
Alla extrempunkter\[ x_1 = -2 \, \] är en minimipunkt.
\( x_2 = 0 \, \) är en maximipunkt.
\( x_3 = 2 \, \) är en minimipunkt.
