Skillnad mellan versioner av "3.3 Terasspunkter"
Taifun (Diskussion | bidrag) m (→Hur grafen kan lura oss) |
Taifun (Diskussion | bidrag) m (→Hur grafen kan lura oss) |
||
| Rad 147: | Rad 147: | ||
terasspunkt i <math> \, x = 0 \, </math>? Kurvan verkar vara av samma | terasspunkt i <math> \, x = 0 \, </math>? Kurvan verkar vara av samma | ||
| − | typ som det inledande exemplet. Speciellt | + | typ som det inledande exemplet <math> y = \, x^3 \, </math>. Speciellt |
| − | graf är | + | om denna graf är ritad på en miniräknares lilla display |
| − | man kanske t.o.m. ingen skillnad alls till kurvan | + | ser man kanske t.o.m. ingen skillnad alls till kurvan |
<math> y = \, x^3 \, </math>. Den spontana slutsatsen att det | <math> y = \, x^3 \, </math>. Den spontana slutsatsen att det | ||
Versionen från 29 december 2014 kl. 14.07
| <-- Förra avsnitt | Teori | Övningar | --> Nästa avsnitt |
Terasspunkter
I förra avsnitt lärde vi oss två metoder för att hitta en funktions extrempunkter dvs maxima eller minima:
- Funktionens derivata \( \, = \, 0 \, \) och andraderivatan \( \, < \, 0 \, \) eller \( \, > \, 0 \, \) dvs \( \, \neq \, 0 \, \).
- Funktionens derivata \( \, = \, 0 \, \) och derivatan byter tecken kring sitt nollställe.
Båda metoder utesluter följande alternativ:
- Både funktionens derivata och andraderivata \( \, = \, 0 \, \).
- Funktionens derivata \( \, = \, 0 \, \) och derivatan inte byter tecken kring sitt nollställe.
Dessa alternativ tar vi upp nu: Vad händer om funktionens derivata och andraderivata är \( \, 0 \, \) eller om derivatan är \( \, 0 \, \) och bibehåller sitt tecken kring nollstället?
Ett sådant fall föreligger i följande enkelt exempel:
- \[\begin{array}{rcl} f(x) & = & x^3 \\ f'(x) & = & 3\,x^2 \\ f''(x) & = & 6\,x \end{array}\]
Vi ska undersöka funktionen \( \, f(x) = x^3 \, \) i och kring punkten \( \, x = 0 \, \) genom att titta på följande grafer:
Funktionens graf till vänster visar att det inte föreligger en extrempunkt i \( x = 0 \), varken ett maximum eller ett minimum. Det handlar snarare om en typ av kritisk punkt som är ny för oss. Kritiskt, därför att \(-\) precis som hos extrempunkter \(-\) tangenten till kurvan i denna punkt är horisontell dvs har lutningen \( \, 0 \, \). Denna nya typ av kritisk punkt kallas terasspunkt.
Bilden i mitten visar att derivatan har ett nollställe i \( \, x = 0 \, \). Det speciella med detta nollställe är att kurvan inte skär \( \, x\)-axeln utan bara berör den. Med andra ord, \( \, x = 0 \, \) är en dubbelrot till andragradsfunktionen \( \, f'(x) = 3\,x^2 \, \). Detta gör att derivatan inte byter tecken kring \( \, x = 0 \, \) utan är positiv både till vänster om och till höger om nollstället. Att derivatan är positiv innebär i sin tur att själva funktionen \( \, f(x) = x^3 \, \) är växande både till vänster om och till höger om \( \, x = 0 \, \) \(-\) ett kännetecken för terasspunkter.
Bilden till höger visar att även andraderivatan har ett nollställe i \( \, x = 0 \, \). Till skillnad från derivatans nollställe är detta nollställe av enkel typ, vilket framgår av att grafen verkligen skär \( \, x\)-axeln dvs byter tecken kring \( \, x = 0 \, \). I självaste punkten \( \, x = 0 \, \) är andraderivatan varken positiv eller negativ, varav följer att \( \, x = 0 \, \) inte är någon extrempunkt för funktionen \( \, f(x) = x^3 -\) ytterliare ett kännetecken för terasspunkter.
Vi har inte ritat grafen till tredjederivatan \( \, f'''(x) = 6 \), men den är \( \neq 0 \, \) vilket \(-\) och det är det nya hos terasspunkter \(-\) är ett nödvändigt villkor för att funktionen har en terasspunkt i \( \, x = 0 \, \). Därmed lämnar vi vårt enkla exempel och kommer till det allmänna fallet:
Regler om terasspunkter
Tre kriterier behövs för att få reda på en funktions terasspunkt: ett om derivatans nollställen, det andra om andraderivatans nollställen och det tredje om att tredjederivatan inte får vara \( \, 0 \, \). Alla tre måste vara uppfyllda. Generellt gäller:
:
Regeln med högre derivator:
Funktionen \( {\color{White} x} y \, = \, f(x) {\color{White} x} \) har en terasspunkt i \( {\color{White} x} x = a {\color{White} x} \) om \( {\color{White} x} f\,'(a) \, = \, f\,''(a) \, = \, 0 {\color{White} x} \) och \( {\color{White} x} f\,'''(a) \, \neq \, 0 {\color{White} x}. \)
Om \( {\color{White} x} f\,'(a) \, = \, f\,''(a) \, = \, f\,'''(a) \, = \, 0 {\color{White} x} \) har funktionen ingen terasspunkt i \( {\color{White} x} x = a {\color{White} x} \).
I dett fall kan endast ett teckenstudium avgöra den kritiska punktens typ.
För att demonstrera regeln ovan tar vi vårt inledande exempel och undersöker regelns tre kriterier algebraiskt i punkten \( \, x = 0 \):
- \[\begin{array}{rclclcl} f(x) & = & x^3 & & \\ f'(x) & = & 3\,x^2 & \Longrightarrow & f'(0) = 3\cdot 0^2 = 3\cdot 0 & = & 0 \\ f''(x) & = & 6\,x & \Longrightarrow & f''(0) = 6\cdot 0 & = & 0 \\ f'''(x) & = & 6 & \Longrightarrow & f'''(0) = 6 & \neq & 0 \end{array}\]
Vi ser att \( f'(0) = f''(0) = 0 \) och \( f'''(0) \neq 0 \). Enligt regeln ovan drar vi slutsatsen att funktionen \( f(x)\, \) har en terasspunkt i \( \, x = 0 \).
Alternativt till användning av högre derivator finns det alltid möjligheten att genomföra ett teckenstudium för att känna igen en terasspunkt.
Här finns det två kriterier för att få reda på en funktions terasspunkt: ett om derivatans nollställen och ett om att derivatan inte byter tecken:
:
Regeln med teckenstudium:
Funktionen \( {\color{White} x} y \, = \, f(x) {\color{White} x} \) har en terasspunkt i \( {\color{White} x} x = a {\color{White} x} \) om \( {\color{White} x} f\,'(a) \, = \, 0 {\color{White} x} \) och \( {\color{White} x} f\,'(x) {\color{White} x} \) inte byter tecken kring \( \, a \).
Att derivatan inte byter tecken innebär för att den antingen är positiv eller negativ på båda sidor av sitt nollställe.
För att demonstrera regeln med teckenstudium tar vi samma exempel \( \, f(x) = x^3 \, \). Vi hade redan bestämt att derivatan var \( \, 0 \) för \( \, x = 0 \, \):
- \[ f(x) = x^3 \]
- \[ f'(x) = 3\,x^2 \]
- \[ f'(0) = 3\cdot 0^2 = 3\cdot 0 = 0 \]
Nu ska vi undersöka derivatans tecken till vänster och till höger om nollstället \( \, x = 0 \). Vi väljer t.ex. punkterna \( \, x = -0,1 \) och \( \, x = 0,1 \) på \( \, x\)-axeln som är ganska nära derivatans nollställe och bestämmer derivatans tecken i dessa punkter:
- \[ f' (-0,1) = 3\cdot (-0,1)^2 = 3\cdot 0,01 = 0,03 > 0 \]
- \[ f' (0,1) = 3\cdot (0,1)^2 = 3\cdot 0,01 = 0,03 > 0 \]
Resultaten överförs till följande teckentabell:
| \(x\) | \(-0,1\) | \(0\) | \(0,1\) |
| \( f\,'(x) \) | \(+\) | \(0\) | \(+\) |
| \( \,f(x) \) | ↗ | Terass | ↗ |
Vi ser att \( f\,'(0) = 0 \) och derivatan har tecknet \(+\) till vänster om och \( + \) till höger om \( \, 0 \) dvs är positiv och inte byter tecken kring sitt nollställe. Enligt regeln med teckenstudium drar vi slutsatsen att funktionen \( f(x)\, \) har en terasspunkt i \( \, x = 0 \).
Hur grafen kan lura oss
| Vi modifierar det inledande exemplet lite grann
genom att lägga till en term till funktionsuttrycket:
Bilden till höger visar grafen till den här funktionen. Kan man från grafen dra slutsatsen att \( f(x) \) har en terasspunkt i \( \, x = 0 \, \)? Kurvan verkar vara av samma typ som det inledande exemplet \( y = \, x^3 \, \). Speciellt om denna graf är ritad på en miniräknares lilla display ser man kanske t.o.m. ingen skillnad alls till kurvan \( y = \, x^3 \, \). Den spontana slutsatsen att det |
 |
här är en terasspunkt är i alla fall inte ovanligt. Men hur kan man få klarhet om detta?
+++
- \[\begin{array}{rcl} f(x) & = & x^3 + \, 0,5\,x \\ f'(x) & = & 3\,x^2 + \, 0,5 \\ f''(x) & = & 6\,x \end{array}\]
Via följande grafer ska vi titta på funktionens beteende i och kring punkten \( \, x = 0 \, \):
Grafen till vänster visar ingen stor skillnad i funktionens förlopp till tidigare och man skulle kunna identifiera punkten \( \, x = 0 \, \) spontant som en terasspunkt. Men grafen lurar oss:
En algebraisk undersökning +++
