Skillnad mellan versioner av "3.3 Terasspunkter"
Taifun (Diskussion | bidrag) m (→Inflexionspunkter) |
Taifun (Diskussion | bidrag) |
||
| Rad 179: | Rad 179: | ||
Bilden i mitten visar att derivatan inte har något nollställe vilket visar att funktionen varken har extrempunkter eller terasspunkter. Derivatan är alltid positiv och antar i <math> x = 0 </math> värdet <math> \, 0,5 \, </math>. Om detta värde hade varit <math> \, 0 \, </math> hade funktionen haft en terasspunkt i <math> x = 0 </math>. | Bilden i mitten visar att derivatan inte har något nollställe vilket visar att funktionen varken har extrempunkter eller terasspunkter. Derivatan är alltid positiv och antar i <math> x = 0 </math> värdet <math> \, 0,5 \, </math>. Om detta värde hade varit <math> \, 0 \, </math> hade funktionen haft en terasspunkt i <math> x = 0 </math>. | ||
| − | Bilden till höger visar att andraderivatan har ett nollställe i <math> \, x = 0 \, </math>, där grafen skär <math> \, x</math>-axeln. Vad innebär detta? | + | Bilden till höger visar att andraderivatan har ett nollställe i <math> \, x = 0 \, </math>, där grafen skär <math> \, x</math>-axeln. Vad innebär detta? Vi har inte haft ett sådant fall där derivatan är skild från <math> \, 0 \, </math>, men andraderivatan är <math> \, 0 \, </math>. I alla fall handlar det inte om någon vanlig punkt på kurvan, även om den <math>-</math> vilket vi redan konstaterat <math>-</math> varken är en extrempunkt eller en terasspunkt, för i dessa fall borde ju derivatan vara <math> \, 0 \, </math>. Faktiskt handlar det om en ny typ av kritisk punkt. Kritiskt, därför att <math>-</math> precis som hos terasspunkter <math>-</math> andraderivatan i <math> \, x = 0 \, </math> är <math> \, 0 \, </math> vilket beror på att derivatan har ett minimum där. Denna nya typ av kritisk punkt kallas <strong><span style="color:red">inflexionspunkt</span></strong>. |
| + | |||
== Inflexionspunkter == | == Inflexionspunkter == | ||
| Rad 185: | Rad 186: | ||
Det är sådana punkter där kurvan går från en högersväng över till en vänstersväng eller tvärtom från en vänstersväng till en högersväng. I båda exempel vi behandlat hittills är <math> \, x = 0 \, </math> en inflexionspunkt, där kurvan går från en högersväng över till en vänstersväng, se graferna ovan. I det första exemplet är inflexionspunkten även en terasspunkt. I det andra exemplet är inflexionspunkten ingen terasspunkt. | Det är sådana punkter där kurvan går från en högersväng över till en vänstersväng eller tvärtom från en vänstersväng till en högersväng. I båda exempel vi behandlat hittills är <math> \, x = 0 \, </math> en inflexionspunkt, där kurvan går från en högersväng över till en vänstersväng, se graferna ovan. I det första exemplet är inflexionspunkten även en terasspunkt. I det andra exemplet är inflexionspunkten ingen terasspunkt. | ||
| − | + | Det ovan sagda är ett exempel på att terasspunkter är specialfall av inflexionspunkter, nämligen sådana där kurvans tangenter är horisontella dvs har lutningen <math> \, 0 \, </math>. Annars kan inflexionspunkters tangenter ha vilken lutning som helst. Mellan ett lokalt maximum och ett lokalt minimum finns alltid en inflexionspunkt. | |
Eftersom inflexionspunkter inte obligatoriskt ingår i Skolverkets läroplan för Matte 3-kursen går vi inte in på dem närmare än så. | Eftersom inflexionspunkter inte obligatoriskt ingår i Skolverkets läroplan för Matte 3-kursen går vi inte in på dem närmare än så. | ||
Versionen från 29 december 2014 kl. 17.18
| <-- Förra avsnitt | Teori | Övningar | --> Nästa avsnitt |
Terasspunkter
I förra avsnitt lärde vi oss två metoder för att hitta en funktions extrempunkter dvs maxima eller minima:
- Funktionens derivata \( \, = \, 0 \, \) och andraderivatan \( \, < \, 0 \, \) eller \( \, > \, 0 \, \) dvs \( \, \neq \, 0 \, \).
- Funktionens derivata \( \, = \, 0 \, \) och derivatan byter tecken kring sitt nollställe.
Båda metoder utesluter följande alternativ:
- Både funktionens derivata och andraderivata \( \, = \, 0 \, \).
- Funktionens derivata \( \, = \, 0 \, \) och derivatan inte byter tecken kring sitt nollställe.
Dessa alternativ tar vi upp nu: Vad händer om funktionens derivata och andraderivata är \( \, 0 \, \) eller om derivatan är \( \, 0 \, \) och bibehåller sitt tecken kring nollstället?
Ett sådant fall föreligger i följande enkelt exempel:
- \[\begin{array}{rcl} f(x) & = & x^3 \\ f'(x) & = & 3\,x^2 \\ f''(x) & = & 6\,x \end{array}\]
Vi ska undersöka funktionen \( \, f(x) = x^3 \, \) i och kring punkten \( \, x = 0 \, \) genom att titta på följande grafer:
Funktionens graf till vänster visar att det inte föreligger en extrempunkt i \( x = 0 \), varken ett maximum eller ett minimum. Det handlar snarare om en typ av kritisk punkt som är ny för oss. Kritiskt, därför att \(-\) precis som hos extrempunkter \(-\) tangenten till kurvan i denna punkt är horisontell dvs har lutningen \( \, 0 \, \). Denna nya typ av kritisk punkt kallas terasspunkt.
Bilden i mitten visar att derivatan har ett nollställe i \( \, x = 0 \, \). Det speciella med detta nollställe är att kurvan inte skär \( \, x\)-axeln utan bara berör den. Med andra ord, \( \, x = 0 \, \) är en dubbelrot till andragradsfunktionen \( \, f'(x) = 3\,x^2 \, \). Detta gör att derivatan inte byter tecken kring \( \, x = 0 \, \) utan är positiv både till vänster om och till höger om nollstället. Att derivatan är positiv innebär i sin tur att själva funktionen \( \, f(x) = x^3 \, \) är växande både till vänster om och till höger om \( \, x = 0 \, \) \(-\) ett kännetecken för terasspunkter.
Bilden till höger visar att även andraderivatan har ett nollställe i \( \, x = 0 \, \). Till skillnad från derivatans nollställe är detta nollställe av enkel typ, vilket framgår av att grafen verkligen skär \( \, x\)-axeln dvs byter tecken kring \( \, x = 0 \, \). I självaste punkten \( \, x = 0 \, \) är andraderivatan varken positiv eller negativ, varav följer att \( \, x = 0 \, \) inte är någon extrempunkt för funktionen \( \, f(x) = x^3 -\) ytterliare ett kännetecken för terasspunkter.
Vi har inte ritat grafen till tredjederivatan \( \, f'''(x) = 6 \), men den är alltid \( \neq 0 \, \) och därmed även för \( \, x = 0 \, \). Detta är det nya hos terasspunkter: Att tredjederivatan inte får vara \( \, 0 \, \) är ett nödvändigt villkor för att funktionen ska ha en terasspunkt. Därmed lämnar vi vårt exempel och kommer till det allmänna fallet där det nya villkoret ingår.
Regler om terasspunkter
Tre kriterier behövs för att få reda på en funktions terasspunkt: ett om derivatans nollställen, det andra om andraderivatans nollställen och det tredje om att tredjederivatan inte får vara \( \, 0 \, \). Alla tre måste vara uppfyllda. Generellt gäller:
:
Regeln med högre derivator:
Funktionen \( {\color{White} x} y \, = \, f(x) {\color{White} x} \) har en terasspunkt i \( {\color{White} x} x = a {\color{White} x} \) om \( {\color{White} x} f\,'(a) \, = \, f\,''(a) \, = \, 0 {\color{White} x} \) och \( {\color{White} x} f\,'''(a) \, \neq \, 0 {\color{White} x}. \)
Om \( {\color{White} x} f\,'(a) \, = \, f\,''(a) \, = \, f\,'''(a) \, = \, 0 {\color{White} x} \) har funktionen ingen terasspunkt i \( {\color{White} x} x = a {\color{White} x} \).
I dett fall kan endast ett teckenstudium avgöra den kritiska punktens typ.
För att demonstrera regeln ovan tar vi vårt inledande exempel och undersöker regelns tre kriterier algebraiskt i punkten \( \, x = 0 \):
- \[\begin{array}{rclclcl} f(x) & = & x^3 & & \\ f'(x) & = & 3\,x^2 & \Longrightarrow & f'(0) = 3\cdot 0^2 = 3\cdot 0 & = & 0 \\ f''(x) & = & 6\,x & \Longrightarrow & f''(0) = 6\cdot 0 & = & 0 \\ f'''(x) & = & 6 & \Longrightarrow & f'''(0) = 6 & \neq & 0 \end{array}\]
Vi ser att \( f'(0) = f''(0) = 0 \) och \( f'''(0) \neq 0 \). Enligt regeln ovan drar vi slutsatsen att funktionen \( f(x)\, \) har en terasspunkt i \( \, x = 0 \).
Alternativt till användning av högre derivator finns det alltid möjligheten att genomföra ett teckenstudium för att känna igen en terasspunkt.
Här finns det två kriterier för att få reda på en funktions terasspunkt: ett om derivatans nollställen och ett om att derivatan inte byter tecken:
:
Regeln med teckenstudium:
Funktionen \( {\color{White} x} y \, = \, f(x) {\color{White} x} \) har en terasspunkt i \( {\color{White} x} x = a {\color{White} x} \) om \( {\color{White} x} f\,'(a) \, = \, 0 {\color{White} x} \) och \( {\color{White} x} f\,'(x) {\color{White} x} \) inte byter tecken kring \( \, a \).
Att derivatan inte byter tecken innebär för att den antingen är positiv eller negativ på båda sidor av sitt nollställe.
För att demonstrera regeln med teckenstudium tar vi samma exempel \( \, f(x) = x^3 \, \). Vi hade redan bestämt att derivatan var \( \, 0 \) för \( \, x = 0 \, \):
- \[ f(x) = x^3 \]
- \[ f'(x) = 3\,x^2 \]
- \[ f'(0) = 3\cdot 0^2 = 3\cdot 0 = 0 \]
Nu ska vi undersöka derivatans tecken till vänster och till höger om nollstället \( \, x = 0 \). Vi väljer t.ex. punkterna \( \, x = -0,1 \) och \( \, x = 0,1 \) på \( \, x\)-axeln som är ganska nära derivatans nollställe och bestämmer derivatans tecken i dessa punkter:
- \[ f' (-0,1) = 3\cdot (-0,1)^2 = 3\cdot 0,01 = 0,03 > 0 \]
- \[ f' (0,1) = 3\cdot (0,1)^2 = 3\cdot 0,01 = 0,03 > 0 \]
Resultaten överförs till följande teckentabell:
| \(x\) | \(-0,1\) | \(0\) | \(0,1\) |
| \( f\,'(x) \) | \(+\) | \(0\) | \(+\) |
| \( \,f(x) \) | ↗ | Terass | ↗ |
Vi ser att \( f\,'(0) = 0 \) och derivatan har tecknet \(+\) till vänster om och \( + \) till höger om \( \, 0 \) dvs är positiv och inte byter tecken kring sitt nollställe. Enligt regeln med teckenstudium drar vi slutsatsen att funktionen \( f(x)\, \) har en terasspunkt i \( \, x = 0 \).
Hur grafen kan lura oss
| Vi modifierar det inledande exemplet lite grann
genom att lägga till en term till funktionsuttrycket:
Bilden till höger visar grafen till den här funktionen. Kan man från grafen dra slutsatsen att \( f(x) \) har en terasspunkt i \( \, x = 0 \, \)? Kurvan verkar vara av samma typ som det inledande exemplet \( y = \, x^3 \, \). Speciellt om grafen ritas på en miniräknares lilla display ser man kanske t.o.m. ingen skillnad alls till kurvan \( y = \, x^3 \, \). Den spontana slutsatsen att det här också |
 |
är en terasspunkt är i alla fall inte ovanligt. En liten tvekan kommer upp när man jämför de olika funktionsuttrycken. Men hur kan man få 100 %-ig klarhet om detta?
Det enda sättet att göra det är att tillämpa de algebraiska regler som vi ställde upp inledningsvis \(-\) antingen regeln med högre derivator eller regeln med teckenstudium. Båda kräver bl.a. att derivatan blir \( \, 0 \, \) i \( \, x = 0 \, \). Men det visar sig att detta inte är fallet:
- \[\begin{array}{rcl} f(x) & = & x^3 + \, 0,5\,x \\ f'(x) & = & 3\,x^2 + \, 0,5 \\ f'(0) & = & 3\cdot 0^2 + \, 0,5 = 3\cdot 0 \, + \, 0,5 = 0 \, + \, 0,5 \, = \, 0,5 \, \neq \, 0 \end{array}\]
Därmed är frågan avgjord: \( f(x) \) har ingen terasspunkt i \( \, x = 0 \, \). Grafen har lurat oss.
Vill man använda grafer borde man först undersöka funktionen med de strikta algebraiska reglerna och sedan rita grafer för att visualisera resultatet. I det här fallet är det lämpligt att även rita tangenten till \( \, f(x) \, \) i \( \, x = 0 \, \). Lägger man till graferna till derivatan och andraderivatan får man en fullständig överblick över funktionens beteende i och kring \( \, x = 0 \, \):
Funktionens graf till vänster visar att det inte föreligger en terasspunkt i \( x = 0 \). Den i samma koordinatsystem ritade tangenten till kurvan i \( x = 0 \) är inte horisontell dvs har inte lutningen \( \, 0 \, \). I beräkningen ovan hade vi fått: \( f'(x) = 0,5 \neq 0 \). Därmed är även tangentens lutning \( \, 0,5 \, \) och dess ekvation: \( y = 0,5\,x \).
Bilden i mitten visar att derivatan inte har något nollställe vilket visar att funktionen varken har extrempunkter eller terasspunkter. Derivatan är alltid positiv och antar i \( x = 0 \) värdet \( \, 0,5 \, \). Om detta värde hade varit \( \, 0 \, \) hade funktionen haft en terasspunkt i \( x = 0 \).
Bilden till höger visar att andraderivatan har ett nollställe i \( \, x = 0 \, \), där grafen skär \( \, x\)-axeln. Vad innebär detta? Vi har inte haft ett sådant fall där derivatan är skild från \( \, 0 \, \), men andraderivatan är \( \, 0 \, \). I alla fall handlar det inte om någon vanlig punkt på kurvan, även om den \(-\) vilket vi redan konstaterat \(-\) varken är en extrempunkt eller en terasspunkt, för i dessa fall borde ju derivatan vara \( \, 0 \, \). Faktiskt handlar det om en ny typ av kritisk punkt. Kritiskt, därför att \(-\) precis som hos terasspunkter \(-\) andraderivatan i \( \, x = 0 \, \) är \( \, 0 \, \) vilket beror på att derivatan har ett minimum där. Denna nya typ av kritisk punkt kallas inflexionspunkt.
Inflexionspunkter
Det är sådana punkter där kurvan går från en högersväng över till en vänstersväng eller tvärtom från en vänstersväng till en högersväng. I båda exempel vi behandlat hittills är \( \, x = 0 \, \) en inflexionspunkt, där kurvan går från en högersväng över till en vänstersväng, se graferna ovan. I det första exemplet är inflexionspunkten även en terasspunkt. I det andra exemplet är inflexionspunkten ingen terasspunkt.
Det ovan sagda är ett exempel på att terasspunkter är specialfall av inflexionspunkter, nämligen sådana där kurvans tangenter är horisontella dvs har lutningen \( \, 0 \, \). Annars kan inflexionspunkters tangenter ha vilken lutning som helst. Mellan ett lokalt maximum och ett lokalt minimum finns alltid en inflexionspunkt.
Eftersom inflexionspunkter inte obligatoriskt ingår i Skolverkets läroplan för Matte 3-kursen går vi inte in på dem närmare än så.
