Skillnad mellan versioner av "3.3 Lösning 5a"
Från Mathonline
Taifun (Diskussion | bidrag) m |
Taifun (Diskussion | bidrag) m |
||
| Rad 16: | Rad 16: | ||
:<b>Nollställe 1:</b> <math> {\color{White} x} x_1 = 0 </math> | :<b>Nollställe 1:</b> <math> {\color{White} x} x_1 = 0 </math> | ||
| + | |||
| + | :Vi sätter in <math> x_1 = 0 \, </math> i andraderivatan: | ||
| + | |||
| + | ::<math> f''(x) \, = \, 36\,x^2 + 24\,x </math> | ||
| + | |||
| + | ::<math> f''(0) \, = \, 36\cdot 0^2 + 24\cdot 0 = 0 </math> | ||
| + | |||
| + | :Vi sätter in <math> x_1 = 0 \, </math> i tredjederivatan: | ||
| + | |||
| + | ::<math> f'''(x) \, = \, 72\,x + 24 </math> | ||
| + | |||
| + | ::<math> f'''(0) \, = \, 72\cdot 0 + 24 = 0 + 24 = 24 </math> | ||
| + | |||
| + | |||
| + | |||
| + | :<b>Nollställe 2:</b> <math> {\color{White} x} t_2 = 4 \quad {\color{White} x} </math> | ||
| + | |||
| + | :Vi sätter in <math> t_2 = 4 \, </math> in i andraderivatan och kollar om den blir positiv eller negativ: | ||
| + | |||
| + | ::<math> V''(4) \, = \, -18\cdot 4 + 54 = -18 < 0 </math> | ||
| + | |||
| + | :Andraderivatan är negativ för <math> t_2 = 4 \, </math>. Slutsats<span style="color:black">:</span> <math> V(t) \, </math> har ett <strong><span style="color:red">maximum</span></strong> i <math> t_2 = 4 \, </math>. | ||
Versionen från 10 januari 2015 kl. 13.17
\[\begin{array}{rcl} f(x) & = & 3\,x^4 + 4\,x^3 \\ f'(x) & = & 12\,x^3 + 12\,x^2 \\ f''(x) & = & 36\,x^2 + 24\,x \\ f'''(x) & = & 72\,x + 24 \end{array}\]
Derivatans nollställen:
\[\begin{array}{rcrcl} f'(x) & = & 12\,x^3 + 12\,x^2 & = & 0 \\ & & 12\,x^2\,(x + 1) & = & 0 \\ & & x_1 & = & 0 \\ & & x_2 & = & -1 \end{array}\]
Derivatan har två nollställen, ett i \( x_1 = 0 \) och ett i \( x_2 = -1 \).
- Nollställe 1: \( {\color{White} x} x_1 = 0 \)
- Vi sätter in \( x_1 = 0 \, \) i andraderivatan:
- \[ f''(x) \, = \, 36\,x^2 + 24\,x \]
- \[ f''(0) \, = \, 36\cdot 0^2 + 24\cdot 0 = 0 \]
- Vi sätter in \( x_1 = 0 \, \) i tredjederivatan:
- \[ f'''(x) \, = \, 72\,x + 24 \]
- \[ f'''(0) \, = \, 72\cdot 0 + 24 = 0 + 24 = 24 \]
- Nollställe 2: \( {\color{White} x} t_2 = 4 \quad {\color{White} x} \)
- Vi sätter in \( t_2 = 4 \, \) in i andraderivatan och kollar om den blir positiv eller negativ:
- \[ V''(4) \, = \, -18\cdot 4 + 54 = -18 < 0 \]
- Andraderivatan är negativ för \( t_2 = 4 \, \). Slutsats: \( V(t) \, \) har ett maximum i \( t_2 = 4 \, \).
