Skillnad mellan versioner av "3.4 Kurvkonstruktioner"
Taifun (Diskussion | bidrag) m |
Taifun (Diskussion | bidrag) m |
||
| Rad 20: | Rad 20: | ||
I detta avsnitt kommer vi att använda en funktions derivata som ett verktyg för att få information om själva funktionen, närmare bestämt om funktionens <i>lokala maxima</i> och <i>minima</i>. | I detta avsnitt kommer vi att använda en funktions derivata som ett verktyg för att få information om själva funktionen, närmare bestämt om funktionens <i>lokala maxima</i> och <i>minima</i>. | ||
| + | |||
<table> | <table> | ||
<tr> | <tr> | ||
| − | <td> [[Image: Globala maxima & minima.jpg]] [[Image: Lokala_maxima_minima.jpg]]</td> | + | <td> [[Image: Globala maxima & minima.jpg]]</td> |
| + | <td> [[Image: Lokala_maxima_minima.jpg]]</td> | ||
| + | <td> <i>Lokala maxima</i> och <i>minima</i> är punkter (<big><big>•</big></big>) som har största resp. minsta <math> \, y</math>-värden <i>lokalt</i> dvs i sin närmaste omgivning, se bilden. | ||
| + | |||
| + | Med <strong><span style="color:red">maxima</span></strong> och <strong><span style="color:red">minima</span></strong> menas i detta avsnitt alltid <i>lokala</i> maxima/minima. Därför utelämnas ordet <i>lokalt</i> i detta avsnitt. | ||
| + | |||
| + | Båda tillsammans heter <strong><span style="color:red">extrema</span></strong> eller <strong><span style="color:red">extremvärden</span></strong>. På bilden till vänster har vi två extremvärden<span style="color:black">:</span> <math> \, 10 \, </math> och <math> \, 22 \, </math> (OBS! <math> \, y</math>-värden). | ||
| + | |||
| + | De punkter på <math> \, x</math>-axeln för vilka extremvärden antas heter <strong><span style="color:red">extrempunkter</span></strong>. På bilden finns två extrempunkter<span style="color:black">:</span> <math> \, 2 \, </math> och <math> \, 4 \, </math> (OBS! <math> \, x</math>). | ||
| + | |||
| + | Minimipunktens koordinater är<span style="color:black">:</span> <math> \, (2, 10) \, </math>. Maximipunktens koordinater är<span style="color:black">:</span> <math> \, (4, 22) \, </math>. | ||
| + | |||
| + | |||
| + | När vi i fortsättningen pratar om <strong><span style="color:red">punkten</span></strong> <math> {\color{Red} {x = a}} \, </math> menar vi alltid punkten med <math> {\color{Red} x}</math>-koordinaten <strong><span style="color:red">a</span></strong>. | ||
| + | |||
| + | |||
| + | Gemensamt för alla extrempunkter är att derivatan i dessa punkter är <math> \, 0 </math>, därför att: | ||
| + | |||
| + | Tangenten till funktionens graf i en extrempunkt är horisontell dvs har lutningen <math> \, 0 \, </math>. Följaktligen: | ||
| + | |||
| + | Genom att bilda derivatan, sätta den till <math> \, 0 \, </math> och beräkna de <math> \, x \, </math> för vilka derivatan blir <math> \, 0 \, </math>, kan vi få reda på funktionens extrempunkter. | ||
| + | |||
| + | |||
| + | Sedan gäller det att skilja mellan minimi- och en maximipunkter bland extrempunkterna. | ||
| + | |||
| + | </td> | ||
| + | </tr> | ||
| + | </table> | ||
| + | |||
| + | <table> | ||
| + | <tr> | ||
| + | <td> [[Image: Globala maxima & minima.jpg]]</td> | ||
<td> <i>Lokala maxima</i> och <i>minima</i> är punkter (<big><big>•</big></big>) som har största resp. minsta <math> \, y</math>-värden <i>lokalt</i> dvs i sin närmaste omgivning, se bilden. | <td> <i>Lokala maxima</i> och <i>minima</i> är punkter (<big><big>•</big></big>) som har största resp. minsta <math> \, y</math>-värden <i>lokalt</i> dvs i sin närmaste omgivning, se bilden. | ||
Versionen från 11 januari 2015 kl. 16.00
| <-- Förra avsnitt | Teori | Övningar | --> Nästa avsnitt |
Fortfarande förutsätts att alla funktioner \( {\color{White} x} y \, = \, f(x) {\color{White} x} \) vi behandlar här är kontinuerliga i alla punkter av det betraktade området.
Globala maxima och minima
I detta avsnitt kommer vi att använda en funktions derivata som ett verktyg för att få information om själva funktionen, närmare bestämt om funktionens lokala maxima och minima.
 |
 |
Lokala maxima och minima är punkter (•) som har största resp. minsta \( \, y\)-värden lokalt dvs i sin närmaste omgivning, se bilden.
Med maxima och minima menas i detta avsnitt alltid lokala maxima/minima. Därför utelämnas ordet lokalt i detta avsnitt. Båda tillsammans heter extrema eller extremvärden. På bilden till vänster har vi två extremvärden: \( \, 10 \, \) och \( \, 22 \, \) (OBS! \( \, y\)-värden). De punkter på \( \, x\)-axeln för vilka extremvärden antas heter extrempunkter. På bilden finns två extrempunkter: \( \, 2 \, \) och \( \, 4 \, \) (OBS! \( \, x\)). Minimipunktens koordinater är: \( \, (2, 10) \, \). Maximipunktens koordinater är: \( \, (4, 22) \, \).
Tangenten till funktionens graf i en extrempunkt är horisontell dvs har lutningen \( \, 0 \, \). Följaktligen: Genom att bilda derivatan, sätta den till \( \, 0 \, \) och beräkna de \( \, x \, \) för vilka derivatan blir \( \, 0 \, \), kan vi få reda på funktionens extrempunkter.
|
| |
Lokala maxima och minima är punkter (•) som har största resp. minsta \( \, y\)-värden lokalt dvs i sin närmaste omgivning, se bilden.
Med maxima och minima menas i detta avsnitt alltid lokala maxima/minima. Därför utelämnas ordet lokalt i detta avsnitt. Båda tillsammans heter extrema eller extremvärden. På bilden till vänster har vi två extremvärden: \( \, 10 \, \) och \( \, 22 \, \) (OBS! \( \, y\)-värden). De punkter på \( \, x\)-axeln för vilka extremvärden antas heter extrempunkter. På bilden finns två extrempunkter: \( \, 2 \, \) och \( \, 4 \, \) (OBS! \( \, x\)). Minimipunktens koordinater är: \( \, (2, 10) \, \). Maximipunktens koordinater är: \( \, (4, 22) \, \).
Tangenten till funktionens graf i en extrempunkt är horisontell dvs har lutningen \( \, 0 \, \). Följaktligen: Genom att bilda derivatan, sätta den till \( \, 0 \, \) och beräkna de \( \, x \, \) för vilka derivatan blir \( \, 0 \, \), kan vi få reda på funktionens extrempunkter.
|
Det finns två alternativa metoder att göra det, den ena använder andraderivatan, den andra genomför ett teckenstudium. Vi ställer upp regler och löser exempel för båda metoderna.
