Skillnad mellan versioner av "3.4 Kurvkonstruktioner"
Taifun (Diskussion | bidrag) m (→Globalt extremum saknas) |
Taifun (Diskussion | bidrag) m (→Globalt extremum saknas) |
||
| Rad 72: | Rad 72: | ||
Låt följande funktion vara definierad i det angivna intervallet<span style="color:black">:</span> | Låt följande funktion vara definierad i det angivna intervallet<span style="color:black">:</span> | ||
| − | <math>y \, = \, f(x) \, = \, x^2 \quad </math> med | + | <math>y \, = \, f(x) \, = \, x^2 \quad </math> med definitionsintervallet<span style="color:black">:</span> <math> \quad -2 < x < 2 </math> |
Dvs i intervallets ändpunkter <math> x = -2 </math> och <math> x = 2 </math> är funktionen inte definierad. | Dvs i intervallets ändpunkter <math> x = -2 </math> och <math> x = 2 </math> är funktionen inte definierad. | ||
| − | Grafen till höger visar detta | + | Grafen till höger visar detta genom de ihåliga ringarna i kurvans ändpunkter. |
Versionen från 15 januari 2015 kl. 15.48
| <-- Förra avsnitt | Teori | Övningar | --> Nästa avsnitt |
Innehåll
Fortfarande förutsätts att alla funktioner \( {\color{White} x} y \, = \, f(x) {\color{White} x} \) vi behandlar här är kontinuerliga i alla punkter av det betraktade området.
Globala maxima och minima
I avsnittet om Lokala maxima och minima hade vi tittat på sådana punkter som hade maximala och minimala \( \, y\)-värden i sin närmaste omgivning, därför "lokala", se bilden till höger.
I detta avsnitt ska vi betrakta sådana punkter som har största och minsta \( \, y\)-värden i ett intervall, därför "globala", se bilden till vänster.
 |
Globala maxima och minima är en funktions största och minsta värden
globalt dvs i ett intervall, närmare bestämt: Med globala maxima och globala minima menas punkter som har största resp. minsta \( \, y\)-värden i funktionens hela definitionsområde. På bilden till vänster visas de med • . Funktionens största värde är \( \, 30 \, \) och dess minsta värde är \( \, -5 \, \) (OBS! \( \, y\)-värden).
minima eller i intervallets ändpunkter.
annars än att de ev. är identiska med funktionens lokala extrema. I ett mindre intervall blir exemplets lokala extrema, även globala. |
 |
I praktiken hittar man en funktions globala extrema genom att:
- Hitta funktionens lokala extrema med någon av de regler vi lärde oss i förra avsnitt (andraderivatan eller teckenstudium).
- Beräkna de lokala extremvärdena.
- Beräkna funktionsvärdena i definitionsintervallets ändpunkter.
- Jämföra de lokala extremvärdena med värdena i definitionsintervallets ändpunkter.
Globalt extremum saknas
En problematik som kan dyka upp när man är ute efter globala extrema är att de inte existerar.
Exempel:
Låt följande funktion vara definierad i det angivna intervallet:
\(y \, = \, f(x) \, = \, x^2 \quad \) med definitionsintervallet: \( \quad -2 < x < 2 \)
Dvs i intervallets ändpunkter \( x = -2 \) och \( x = 2 \) är funktionen inte definierad.
Grafen till höger visar detta genom de ihåliga ringarna i kurvans ändpunkter.
Detta har inte nödvändigtvis att göra med funktionens egenskaper utan snarare med funktionens definitionsintervall. Det finns två olika typer av intervall:
