Skillnad mellan versioner av "3.4 Kurvkonstruktioner"

Versionen från 15 januari 2015 kl. 20.02

Lektion 32 Kurvkonstruktioner

Fortfarande förutsätts att alla funktioner \( {\color{White} x} y \, = \, f(x) {\color{White} x} \) vi behandlar här är kontinuerliga i alla punkter av det betraktade området.

Globala maxima och minima

I avsnittet om Lokala maxima och minima hade vi tittat på sådana punkter som hade maximala och minimala \( \, y\)-värden i sin närmaste omgivning, därför "lokala", se bilden till höger.

I detta avsnitt ska vi betrakta sådana punkter som har största och minsta \( \, y\)-värden i ett intervall, därför "globala", se bilden till vänster.

Globala maxima och minima är en funktions största och minsta värden      globalt dvs i ett intervall, närmare bestämt:      Med globala maxima och globala minima menas punkter som har      största resp. minsta \( \, y\)-värden i funktionens hela definitionsområde.      På bilden till vänster visas de med   •  . Funktionens största värde är \( \, 30 \, \)      och dess minsta värde är \( \, -5 \, \) (OBS! \( \, y\)-värden).      Globala maxima och minima antas antingen i de lokala maxima och      minima eller i intervallets ändpunkter.      Globala maxima och minima identifieras i regel inte med derivatan,      annars än att de ev. är identiska med funktionens lokala extrema.      I ett mindre intervall blir exemplets lokala extrema, även globala.

I praktiken hittar man en funktions globala extrema genom att:

1. Hitta funktionens lokala extrema med någon av de regler vi lärde oss i förra avsnitt (andraderivatan eller teckenstudium).
2. Beräkna de lokala extremvärdena.
3. Beräkna funktionsvärdena i definitionsintervallets ändpunkter.
4. Jämföra de lokala extremvärdena med värdena i definitionsintervallets ändpunkter.

Globalt extremum saknas

En problematik som kan dyka upp när man är ute efter globala extrema är att de inte existerar. Exempel:

Följande funktion är definierad i det angivna intervallet:

\(y \, = \, f(x) \, = \, x^2 \quad \) med definitionsmängden: \( \quad -2 < x < 2 \) Dvs \( f(x) \) är inte definierad för \( \, x = 2 \), inte heller för \( \, x = -2 \). Grafen till höger visar detta genom de ihåliga ringarna i kurvans ändpunkter. Av följande skäl kan man inte ange något globalt maximum: Om man t.ex. påstår att \( f(1,99) \) är funktionens största värde, är \( f(1,999) \) ännu större. Om man påstår att \( f(1,999) \) är största värdet, är \( f(1,9999) \) ännu större osv. Denna process har ingen ända och gäller även för \( f(-1,99\cdots) \). \( f(2) \) kan inte vara denna funktions största värde, för \( f(2) \) är inte definierad. Slutligen kan man inte hitta något största värde: Globalt maximum saknas.

Att globalt maximum saknas har inte med funktionens egenskaper att göra utan snarare med intervallets där \( f(x) \) är definierad.

Man säger att definitionsintervallet \( \; -2 < x < 2 \; \) är "öppet": Ändarna tillhör inte intervallet.

Hade \( f(x) \) däremot varit definierad t.ex. i det "slutna" intervallet: \( -2 \leq x \leq 2 \;\; \) hade \( \; f(2) \, = \, f(-2) \, = \, 4 \; \) varit funktionens globala maximum.

Exempel på en kurvkonstruktion

Ett lurigt fall