Skillnad mellan versioner av "1.2 Lösning 13"
Taifun (Diskussion | bidrag) m |
Taifun (Diskussion | bidrag) m |
||
| Rad 16: | Rad 16: | ||
där <math> a_1\, </math> och <math> a_2\, </math> är nya beteckningar: | där <math> a_1\, </math> och <math> a_2\, </math> är nya beteckningar: | ||
| − | :<math> a_1 = -\frac{p}{2} \ | + | :<math> a_1 = -\frac{p}{2} \qquad {\rm och} \qquad a_2 = \sqrt{\bigg(\frac{p}{2}\bigg)^2-q} </math> |
Vi sätter in <math> x_1 = a_1 + a_2\, </math> och <math> x_2 = a_1 - a_2\, </math> i högerledet av påståendet och får vänsterledet: | Vi sätter in <math> x_1 = a_1 + a_2\, </math> och <math> x_2 = a_1 - a_2\, </math> i högerledet av påståendet och får vänsterledet: | ||
Versionen från 30 augusti 2015 kl. 22.28
Påstående: Om \( P(x) = x^2 + p\,x + q \) har nollställena \( x_1\, \) och \( x_2\, \) så gäller:
- \[ x^2 + p\,x + q = (x-x_1) \cdot (x-x_2) \]
Bevis:
Nollställena \( x_1\, \) och \( x_2\, \) till \( P(x) \, \) är lösningar till ekvationen:
\[ x^2 + p\,x + q = 0 \]
För dem gäller p-q-formeln:
\[x_{1,2} = -\frac{p}{2}\pm\sqrt{\bigg(\frac{p}{2}\bigg)^2-q} = a_1 \pm a_2 \]
där \( a_1\, \) och \( a_2\, \) är nya beteckningar:
\[ a_1 = -\frac{p}{2} \qquad {\rm och} \qquad a_2 = \sqrt{\bigg(\frac{p}{2}\bigg)^2-q} \]
Vi sätter in \( x_1 = a_1 + a_2\, \) och \( x_2 = a_1 - a_2\, \) i högerledet av påståendet och får vänsterledet:
\[ (x-x_1) \cdot (x-x_2) = (x\,-\,[a_1 + a_2]) \cdot (x\,-\,[a_1 - a_2]) = (x - a_1 - a_2) \cdot (x - a_1 + a_2) = \]
\[ = ([x - a_1] - a_2) \cdot ([x - a_1] + a_2)\,=\,[x - a_1]^2 \, - \, a_2^2\,=\,x^2\,-\,2\,a_1\,x\,+\,a_1\,^2\,-\,a_2\,^2 = \]
\[ =\, x^2\,-\,2 \cdot \left(-\frac{p}{2}\right) \cdot x\,+\,\frac{p^2}{4}\,-\,\left(\frac{p^2}{4} - q\right)\,=\,x^2\,+\,p\,x\,+\,q \]
