Skillnad mellan versioner av "1.5 Potenslagarna"
Taifun (Diskussion | bidrag) m (→Definition av potens) |
Taifun (Diskussion | bidrag) m (→Definition av potens) |
||
| Rad 24: | Rad 24: | ||
<math> a^x\, </math> läses "a upphöjt till x". Att ta a upphöjt till x är en räkneoperation som kallas <span style="color:red">exponentiering</span>. | <math> a^x\, </math> läses "a upphöjt till x". Att ta a upphöjt till x är en räkneoperation som kallas <span style="color:red">exponentiering</span>. | ||
| − | Anta att <math> x\, </math> är en okänd variabel och <math> b \neq 0 </math> och <math> c \neq 0 </math> givna konstanter. Då kallas | + | Anta att <math> x\, </math> är en okänd variabel och <math> b \neq 0 </math> och <math> c \neq 0 </math> givna konstanter. Då kallas |
| − | ::::::::funktioner av typ <math> y = | + | :::::::::funktioner av typ <math> y = 10^x\, </math> <span style="color:red">exponentialfunktioner</span>. Generellt: <math> y = b^x\, </math>. |
| − | ::::::::ekvationer av typ <math> | + | :::::::::ekvationer av typ <math> 10^x\,= 125 </math> <span style="color:red">exponentialekvationer</span>. Generellt: <math> b^x\, = c </math>. |
| − | ::::::::funktioner av typ <math> y = x^ | + | :::::::::funktioner av typ <math> y = x^3\, </math> <span style="color:red">potensfunktioner</span>. Generellt: <math> y = x^b\, </math>. |
| − | ::::::::ekvationer av typ <math> x^ | + | :::::::::ekvationer av typ <math> x^3\, = 8 </math> <span style="color:red">potensekvationer</span>. Generellt: <math> x^b\, = c </math>. |
| − | + | ||
| + | Medan potensekvationer löses genom rotdragning, löses exponentialekvationer genom logaritmering. | ||
== Potenslagarna == | == Potenslagarna == | ||
Versionen från 6 mars 2011 kl. 17.51
| Teori | Övningar |
Innehåll
Definition av potens
Ett uttryck av formen \( a^x\, \) kallas potens. \( a\, \) heter basen och \( x\, \) exponenten.
Om \( x\, \) är ett positivt heltal och \( a \neq 0 \) kan potensen \( a^x\, \) definieras som en förkortning för upprepad multiplikation av a med sig själv:
- \[ a^x = \underbrace{a \cdot a \cdot a \cdot \quad \ \cdots \quad \cdot a}_{x} \]
Dvs \( a\, \) multiplicerat med sig själv \( x\, \) gånger. T.ex.:
- \[ a^2 = a \cdot a \]
- \[ a^3 = a \cdot a \cdot a \]
\( a^x\, \) läses "a upphöjt till x". Att ta a upphöjt till x är en räkneoperation som kallas exponentiering.
Anta att \( x\, \) är en okänd variabel och \( b \neq 0 \) och \( c \neq 0 \) givna konstanter. Då kallas
- funktioner av typ \( y = 10^x\, \) exponentialfunktioner. Generellt\[ y = b^x\, \].
- ekvationer av typ \( 10^x\,= 125 \) exponentialekvationer. Generellt\[ b^x\, = c \].
- funktioner av typ \( y = x^3\, \) potensfunktioner. Generellt\[ y = x^b\, \].
- ekvationer av typ \( x^3\, = 8 \) potensekvationer. Generellt\[ x^b\, = c \].
Medan potensekvationer löses genom rotdragning, löses exponentialekvationer genom logaritmering.
Potenslagarna
Följande lagar gäller för potenser:
Potenslagarna ovan gäller även för exponenter \( x\, \) som är negativa eller bråktal, även om vi inledningsvis definierade potensen \( a^x\, \) endast för positiva heltal \( x\, \).
Bevis av några potenslagar
Påstående (Produkt av potenser med samma bas):
- \[ a^x \cdot a^y \; = \; a^{x+y} \]
Bevis:
Påståendet kan bevisas genom att använda potensens definition:
- \[ a^0 \; = \; a^{x-x} \; = \; {a^x \over a^x} \; = \; 1 \]
Påstående (Nollte potens):
- \[ a^0 \; = \; 1 \]
Bevis:
Påståendet kan bevisas genom att använda potenslagen för division av potenser med samma bas:
- \[ a^0 \; = \; a^{x-x} \; = \; {a^x \over a^x} \; = \; 1 \]
Påstående (Negativ exponent):
- \[ a^{-x} \; = \; {1 \over a^x} \]
Bevis:
Påståendet kan bevisas genom att använda potenslagen för division av potenser med samma bas samt lagen om nollte potensen:
- \[ a^{-x} \; = \; a^{0-x} \; = \; {a^0 \over a^x} \; = \; {1 \over a^x} \]
