Skillnad mellan versioner av "1.5 Potenslagarna"
Taifun (Diskussion | bidrag) m (→Bevis av några potenslagar) |
Taifun (Diskussion | bidrag) m (→Exempel på potenslagars använding) |
||
| Rad 76: | Rad 76: | ||
:::::<math> a^{-x} \; = \; a^{0-x} \; = \; {a^0 \over a^x} \; = \; {1 \over a^x} </math> | :::::<math> a^{-x} \; = \; a^{0-x} \; = \; {a^0 \over a^x} \; = \; {1 \over a^x} </math> | ||
| − | == Exempel på potenslagars | + | == Exempel på potenslagars användning == |
Versionen från 6 mars 2011 kl. 18.10
| Teori | Övningar |
Innehåll
Definition av potens
Ett uttryck av formen \( a^x\, \) kallas potens. \( a\, \) heter basen och \( x\, \) exponenten.
Om \( x\, \) är ett positivt heltal och \( a \neq 0 \) kan potensen \( a^x\, \) definieras som en förkortning för upprepad multiplikation av a med sig själv:
- \[ a^x = \underbrace{a \cdot a \cdot a \cdot \quad \ \cdots \quad \cdot a}_{x} \]
Dvs \( a\, \) multiplicerat med sig själv \( x\, \) gånger. T.ex.:
- \[ a^2 = a \cdot a \]
- \[ a^3 = a \cdot a \cdot a \]
\( a^x\, \) läses "a upphöjt till x". Att ta a upphöjt till x är en räkneoperation som kallas exponentiering.
Anta att \( x\, \) är en okänd variabel och \( b \neq 0 \) och \( c \neq 0 \) givna konstanter. Då kallas
- funktioner av typ \( y = 10^x\, \) exponentialfunktioner. Generellt\[ y = b^x\, \].
- ekvationer av typ \( 10^x\,= 125 \) exponentialekvationer. Generellt\[ b^x\, = c \].
- funktioner av typ \( y = x^3\, \) potensfunktioner. Generellt\[ y = x^b\, \].
- ekvationer av typ \( x^3\, = 8 \) potensekvationer. Generellt\[ x^b\, = c \].
Medan potensekvationer löses genom rotdragning löses exponentialekvationer genom logaritmering, se avsnitt 1.6 Logaritmer.
Potenslagarna
Följande lagar gäller för potenser:
Potenslagarna ovan gäller även för exponenter \( x\, \) som är negativa eller bråktal, även om vi inledningsvis definierade potensen \( a^x\, \) endast för positiva heltal \( x\, \).
Bevis av några potenslagar
Påstående (Produkt av potenser med samma bas):
- \[ a^x \cdot a^y \; = \; a^{x+y} \]
Bevis:
Påståendet kan bevisas genom att använda potensens definition:
- \[ a^x \cdot a^y \; = \; \underbrace{a \cdot a \cdot \; \ \cdots \; \cdot a}_{x} \; \cdot \; \underbrace{a \cdot a \cdot \; \ \cdots \; \cdot a}_{y} \; = \; \underbrace{a \cdot a \cdot \; \ \cdots \; \cdot a}_{x+y} \; = \; a^{x+y} \]
Påstående (Nollte potens):
- \[ a^0 \; = \; 1 \]
Bevis:
Påståendet kan bevisas genom att använda potenslagen för division av potenser med samma bas:
- \[ a^0 \; = \; a^{x-x} \; = \; {a^x \over a^x} \; = \; 1 \]
Påstående (Negativ exponent):
- \[ a^{-x} \; = \; {1 \over a^x} \]
Bevis:
Påståendet kan bevisas genom att använda potenslagen för division av potenser med samma bas samt lagen om nollte potensen:
- \[ a^{-x} \; = \; a^{0-x} \; = \; {a^0 \over a^x} \; = \; {1 \over a^x} \]
