Skillnad mellan versioner av "1.5 Potenslagarna"
Taifun (Diskussion | bidrag) m (→Några begrepp) |
Taifun (Diskussion | bidrag) m (→Några begrepp) |
||
| Rad 19: | Rad 19: | ||
::::<math> a^3 = a \cdot a \cdot a </math> | ::::<math> a^3 = a \cdot a \cdot a </math> | ||
| − | Att ta <math> a\, </math> upphöjt till <math> x\, </math> | + | Att ta <math> a\, </math> upphöjt till <math> x\, </math> kallas <span style="color:red">exponentiering</span> och är en ny räkneoperation, jämfört med de fyra räknesätten. När <math> x=2\, </math> pratar man om <span style="color:red">kvadrering</span>. |
Anta att <math> x\, </math> är en okänd variabel och <math> b\, </math> och <math> c\, </math> givna konstanter <math> \neq 0 </math> . Då kallas | Anta att <math> x\, </math> är en okänd variabel och <math> b\, </math> och <math> c\, </math> givna konstanter <math> \neq 0 </math> . Då kallas | ||
Versionen från 6 mars 2011 kl. 21.17
| Teori | Övningar |
Innehåll
Några begrepp
Ett uttryck av formen \( a^x\, \) läses "a upphöjt till x" och kallas potens. \( a\, \) heter basen och \( x\, \) exponenten.
Om \( x\, \) är ett positivt heltal och \( a\, \) ett tal \( \neq 0 \) kan potensen \( a^x\, \) definieras som en förkortning för upprepad multiplikation av \( a\, \) med sig själv:
- \[ a^x = \underbrace{a \cdot a \cdot a \cdot \quad \ \cdots \quad \cdot a}_{x\;\,\text{styck}} \]
T.ex.:
- \[ a^2 = a \cdot a \]
- \[ a^3 = a \cdot a \cdot a \]
Att ta \( a\, \) upphöjt till \( x\, \) kallas exponentiering och är en ny räkneoperation, jämfört med de fyra räknesätten. När \( x=2\, \) pratar man om kvadrering.
Anta att \( x\, \) är en okänd variabel och \( b\, \) och \( c\, \) givna konstanter \( \neq 0 \) . Då kallas
- funktioner av typ \( y = 10^x\, \) exponentialfunktioner, generellt\[ y = c \cdot a^x\, \].
- ekvationer av typ \( 10^x\,= 125 \) exponentialekvationer, generellt\[ a^x\, = b \].
- funktioner av typ \( y = x^3\, \) potensfunktioner, generellt\[ y = x^b\, \].
- ekvationer av typ \( x^3\, = 8 \) potensekvationer, generellt\[ x^b\, = c \].
Medan exponentialekvationer löses genom logaritmering (se avsnitt 1.7 Logaritmer), löses potensekvationer genom rotdragning, t.ex:
- \[\begin{align} x^3 & = 8 \qquad & | \; \sqrt[3]{\;\;} \\ \sqrt[3]{x^3} & = \sqrt[3]{8} \\ x & = 2 \\ \end{align}\]
Alternativt (med bråk som exponent):
- \[\begin{align} x^3 & = 8 \qquad & | \; (\;\;\;)^{1 \over 3} \\ (x^3)^{1 \over 3} & = 8^{1 \over 3} \\ x^{3\cdot{1 \over 3}} & = 8^{1 \over 3} \\ x & = 2 \\ \end{align}\]
Den alternativa lösningsmetoden använder sig av potenslagar som behandlas nedan. De gäller även för exponenter som är negativa eller bråktal, även om vi inledningsvis definierade potensbegreppet för enkelhets skull endast för positiva heltalsexponenter.
Potenslagarna
Följande lagar gäller för potenser där basen \( a\, \) är ett tal \( \neq 0 \), exponenterna \( x\, \) och \( y\, \) vilka rationella tal som helst och \( m,\,n \) heltal (\( n\neq 0 \)).
Bevis av några potenslagar
Påstående (Produkt av potenser med samma bas):
- \[ a^x \cdot a^y \; = \; a^{x+y} \]
Bevis:
Påståendet kan bevisas genom att använda potensens definition:
- \[ a^x \cdot a^y \; = \; \underbrace{a \cdot a \cdot \; \ \cdots \; \cdot a}_{x} \; \cdot \; \underbrace{a \cdot a \cdot \; \ \cdots \; \cdot a}_{y} \; = \; \underbrace{a \cdot a \cdot \; \ \cdots \; \cdot a}_{x+y} \; = \; a^{x+y} \]
Påstående (Nollte potens):
- \[ a^0 \; = \; 1 \]
Bevis:
Påståendet kan bevisas genom att använda potenslagen för division av potenser med samma bas:
- \[ a^0 \; = \; a^{x-x} \; = \; {a^x \over a^x} \; = \; 1 \]
Påstående (Negativ exponent):
- \[ a^{-x} \; = \; {1 \over a^x} \]
Bevis:
Påståendet kan bevisas genom att använda potenslagen för division av potenser med samma bas samt lagen om nollte potensen:
- \[ a^{-x} \; = \; a^{0-x} \; = \; {a^0 \over a^x} \; = \; {1 \over a^x} \]
Exempel på potenslagars användning
