Skillnad mellan versioner av "2.3 Gränsvärde"
Taifun (Diskussion | bidrag) m |
Taifun (Diskussion | bidrag) m |
||
| Rad 10: | Rad 10: | ||
| − | [[Media: Lektion_18_Gransvarde_Rutab.pdf|< | + | [[Media: Lektion_18_Gransvarde_Rutab.pdf|<b><span style="color:blue">Lektion 14 Gränsvärde</span></b>]] |
__NOTOC__ | __NOTOC__ | ||
<big> | <big> | ||
| − | Detta kapitels mål är att att definiera begreppet < | + | Detta kapitels mål är att att definiera begreppet <b><span style="color:red">derivata</span></b> som är ett gränsvärde. Därför måste vi först förstå vad ett gränsvärde är för något, närmare bestämt: |
=== <b><span style="color:#931136">Gränsvärde för en funktion</span></b> === | === <b><span style="color:#931136">Gränsvärde för en funktion</span></b> === | ||
| Rad 25: | Rad 25: | ||
<td>Funktionen <math> y = f(x) = \displaystyle {10 \over x\,-\,2} </math> är given. | <td>Funktionen <math> y = f(x) = \displaystyle {10 \over x\,-\,2} </math> är given. | ||
| − | <b> < | + | <b> <b><span style="color:red">Vad händer med <math> \, y \, </math> när <math> \; x \to \infty \; </math>?</span></b> </b> |
Funktionens graf till höger visar: | Funktionens graf till höger visar: | ||
| Rad 45: | Rad 45: | ||
Funktionens algebraiska uttryck <math> \, y = \displaystyle{10 \over x\,-\,2} \, </math> bekräftar detta: Täljaren är konstanten <math> 10\, </math> som aldrig kan bli <math> 0\, </math>. Därför kan inte heller hela uttrycket någonsin bli <math> \, 0 </math>. | Funktionens algebraiska uttryck <math> \, y = \displaystyle{10 \over x\,-\,2} \, </math> bekräftar detta: Täljaren är konstanten <math> 10\, </math> som aldrig kan bli <math> 0\, </math>. Därför kan inte heller hela uttrycket någonsin bli <math> \, 0 </math>. | ||
| − | <b> < | + | <b> <b><span style="color:red">Vad händer med <math> \, y \, </math> när <math> \; x \to - \infty \; </math>?</span></b> </b> |
Grafen visar ett liknande beteende när <math> \, x \, </math> går mot negativa värden, dvs när <math> x \to \, {\color{Red} {- \infty}} </math>: Även där går <math> \,y\, </math> mot <math> \,0\, </math> bara att <math> \, y\, </math> nu närmar sig <math> \, 0 \, </math> nedifrån. | Grafen visar ett liknande beteende när <math> \, x \, </math> går mot negativa värden, dvs när <math> x \to \, {\color{Red} {- \infty}} </math>: Även där går <math> \,y\, </math> mot <math> \,0\, </math> bara att <math> \, y\, </math> nu närmar sig <math> \, 0 \, </math> nedifrån. | ||
| Rad 51: | Rad 51: | ||
"Paradoxen" att funktionen allt mer närmar sig <math> \, 0 \, </math> utan att någonsin bli <math> \, 0 </math>, löses upp och kan därmed hanteras algebraiskt med hjälp av ett nytt koncept i matematiken som kallas för <math> {\color{Red} {\rm limes}} </math>: | "Paradoxen" att funktionen allt mer närmar sig <math> \, 0 \, </math> utan att någonsin bli <math> \, 0 </math>, löses upp och kan därmed hanteras algebraiskt med hjälp av ett nytt koncept i matematiken som kallas för <math> {\color{Red} {\rm limes}} </math>: | ||
| − | <div class="border-divblue">Gränsvärdet för <math> \; \displaystyle {10 \over x\,-\,2} \; -</math> då <math> \,x \, </math> går mot <math> \, \infty \, -</math> < | + | <div class="border-divblue">Gränsvärdet för <math> \; \displaystyle {10 \over x\,-\,2} \; -</math> då <math> \,x \, </math> går mot <math> \, \infty \, -</math> <b><span style="color:red">är <math> \, 0</math></span></b> <span style="color:black">:</span> |
| Rad 71: | Rad 71: | ||
<big> | <big> | ||
| − | Limes av en funktion kan i princip beräknas genom att sätta in det värde som <math> \,x \, </math> ska gå emot, i funktionsuttrycket. Men ofta ger detta odefinierade uttryck. Man lyckas först efter < | + | Limes av en funktion kan i princip beräknas genom att sätta in det värde som <math> \,x \, </math> ska gå emot, i funktionsuttrycket. Men ofta ger detta odefinierade uttryck. Man lyckas först efter <b><span style="color:red">förenkling av uttrycket</span></b>, ev. flera gånger. Vi ska ta upp några exempel: |
</big> | </big> | ||
| Rad 149: | Rad 149: | ||
::<math> x^2 - x - 6 = 0 \, </math> | ::<math> x^2 - x - 6 = 0 \, </math> | ||
| − | <math>p</math>-<math> q</math>-formeln kan användas, men enligt [[1.2_Repetition_Faktorisering_%26_Vieta_från_Matte_2#Vietas_formler_-_samband_mellan_koefficienter_och_nollst.C3.A4llen|< | + | <math>p</math>-<math> q</math>-formeln kan användas, men enligt [[1.2_Repetition_Faktorisering_%26_Vieta_från_Matte_2#Vietas_formler_-_samband_mellan_koefficienter_och_nollst.C3.A4llen|<b><span style="color:blue">Vieta</span></b>]] gäller för lösningarna <math> \, x_1\,</math> och <math> \, x_2 \, </math> (går snabbare) <span style="color:black">:</span> |
::<math> \begin{align} x_1 + x_2 & = -(-1) = 1 \\ | ::<math> \begin{align} x_1 + x_2 & = -(-1) = 1 \\ | ||
| Rad 274: | Rad 274: | ||
| − | <div class="border-divblue">Gränsvärdet för <big><math> \; {10 \over x\,-\,2} \; </math></big> då <math> \,x </math> går mot <math> \, 2 \, </math> < | + | <div class="border-divblue">Gränsvärdet för <big><math> \; {10 \over x\,-\,2} \; </math></big> då <math> \,x </math> går mot <math> \, 2 \, </math> <b><span style="color:red">existerar inte</span></b>, kort<span style="color:black">:</span> |
| − | <math> \qquad\qquad\qquad\quad\; </math> < | + | <math> \qquad\qquad\qquad\quad\; </math> <b>Gränsvärde saknas.</b> |
</div> | </div> | ||
| Rad 302: | Rad 302: | ||
där <math> x \to 0^+ </math> betyder att närma sig <math> \, x = 0 </math> från höger (<math> \, x > 0 </math>) och <math> x \to 0^- </math> att närma sig <math> \, x = 0 </math> från vänster (<math> \, x < 0 </math>). | där <math> x \to 0^+ </math> betyder att närma sig <math> \, x = 0 </math> från höger (<math> \, x > 0 </math>) och <math> x \to 0^- </math> att närma sig <math> \, x = 0 </math> från vänster (<math> \, x < 0 </math>). | ||
| − | <b>Anmärkning:</b> Sättet att skriva limes som ovan är nytt och förklaras nedan i [[2.3_Gr%C3%A4nsv%C3%A4rde#Ensidiga_och_oegentliga_gr.C3.A4nsv.C3.A4rden|< | + | <b>Anmärkning:</b> Sättet att skriva limes som ovan är nytt och förklaras nedan i [[2.3_Gr%C3%A4nsv%C3%A4rde#Ensidiga_och_oegentliga_gr.C3.A4nsv.C3.A4rden|<b><span style="color:blue">Ensidiga och oegentliga gränsvärden</span></b>]]. |
<b>Svar:</b> <math> \qquad\;\; </math> Gränsvärde saknas. | <b>Svar:</b> <math> \qquad\;\; </math> Gränsvärde saknas. | ||
| Rad 320: | Rad 320: | ||
=== <b><span style="color:#931136">Ensidiga och oegentliga gränsvärden</span></b> === | === <b><span style="color:#931136">Ensidiga och oegentliga gränsvärden</span></b> === | ||
| − | Skiljer man närmandet från höger till <math> \, x = 2 \, </math> från närmandet från vänster kan man bilda s.k. < | + | Skiljer man närmandet från höger till <math> \, x = 2 \, </math> från närmandet från vänster kan man bilda s.k. <b><span style="color:red">ensidiga gränsvärden</span></b>: |
:::<math> \lim_{x \to 2^{+}}\,{10 \over x - 2}\,=\,+\,\infty \qquad\quad \; {\rm och} \; \qquad\quad \lim_{x \to 2^{-}}\,{10 \over x - 2}\,=\,-\,\infty </math> | :::<math> \lim_{x \to 2^{+}}\,{10 \over x - 2}\,=\,+\,\infty \qquad\quad \; {\rm och} \; \qquad\quad \lim_{x \to 2^{-}}\,{10 \over x - 2}\,=\,-\,\infty </math> | ||
| Rad 326: | Rad 326: | ||
där <math> x \to 2^+ </math> betyder att närma sig <math> \, x = 2 </math> från höger (<math> \, x > 2 </math>) och <math> x \to 2^- </math> att närma sig <math> \, x = 2 </math> från vänster (<math> \, x < 2 </math>). | där <math> x \to 2^+ </math> betyder att närma sig <math> \, x = 2 </math> från höger (<math> \, x > 2 </math>) och <math> x \to 2^- </math> att närma sig <math> \, x = 2 </math> från vänster (<math> \, x < 2 </math>). | ||
| − | Man pratar om höger- och vänstergränsvärdet genom att skilja mellan de två sätten att närma sig talet <math> \, 2 </math> på <math> \, x</math>-axeln: från höger <math> x \to 2^+ </math> och från vänster <math> x \to 2^- </math>, därav beteckningen < | + | Man pratar om höger- och vänstergränsvärdet genom att skilja mellan de två sätten att närma sig talet <math> \, 2 </math> på <math> \, x</math>-axeln: från höger <math> x \to 2^+ </math> och från vänster <math> x \to 2^- </math>, därav beteckningen <b><span style="color:red">ensidig</span></b>. I vårt exempel ger de också två olika resultat. |
| − | Gränsvärden av funktioner som går mot oändligheten (och därmed strikt talat inte existerar), men ändå skrivs med limessymbolen, kallar man < | + | Gränsvärden av funktioner som går mot oändligheten (och därmed strikt talat inte existerar), men ändå skrivs med limessymbolen, kallar man <b><span style="color:red">oegentliga gränsvärden</span></b>. |
<div class="exempel"> | <div class="exempel"> | ||
| Rad 343: | Rad 343: | ||
när <math> \, x \to 0 </math> från höger (<math> \, x > 0 </math>) och från vänster (<math> \, x < 0 </math>). Visserligen | när <math> \, x \to 0 </math> från höger (<math> \, x > 0 </math>) och från vänster (<math> \, x < 0 </math>). Visserligen | ||
| − | är gränsvärdet entydigt, men det är oändligt och kallas därför < | + | är gränsvärdet entydigt, men det är oändligt och kallas därför <b><span style="color:red">oegentligt</span></b>. |
| Rad 355: | Rad 355: | ||
Att man använder det ovannämnda skrivsättet för ensidiga och oegentliga gränsvärden sker av praktiska skäl. Man ersätter pilarna som vi använde inledningsvis med att beskriva gränsprocessen med limessymbolen istället. Det är bekvämt att använda en enhetlig notation för att beskriva gränsprocesser. Är man medveten om att limes enligt den strikta definitionen inte existerar är det o.k. | Att man använder det ovannämnda skrivsättet för ensidiga och oegentliga gränsvärden sker av praktiska skäl. Man ersätter pilarna som vi använde inledningsvis med att beskriva gränsprocessen med limessymbolen istället. Det är bekvämt att använda en enhetlig notation för att beskriva gränsprocesser. Är man medveten om att limes enligt den strikta definitionen inte existerar är det o.k. | ||
| − | OBS! Av skrivsättet för ensidiga och oegentliga gränsvärden följer fortfarande < | + | OBS! Av skrivsättet för ensidiga och oegentliga gränsvärden följer fortfarande <b><span style="color:red">inte</span></b> att <math> \displaystyle {\lim_{x \to 2}\,{10 \over x - 2}} </math> eller <math> \displaystyle {\lim_{x \to 0}\,{1 \over x^2}} </math> <b><span style="color:red">existerar</span></b>. |
</div> | </div> | ||
| Rad 375: | Rad 375: | ||
| − | [[Matte:Copyrights|Copyright]] © 2011- | + | [[Matte:Copyrights|Copyright]] © 2011-2016 Taifun Alishenas. All Rights Reserved. |
Versionen från 10 oktober 2016 kl. 09.06
| \( \pmb{\gets} \) Förra avsnitt | Genomgång | Övningar | Nästa avsnitt \( \pmb{\to} \) |
Detta kapitels mål är att att definiera begreppet derivata som är ett gränsvärde. Därför måste vi först förstå vad ett gränsvärde är för något, närmare bestämt:
Gränsvärde för en funktion
Exempel
| Funktionen \( y = f(x) = \displaystyle {10 \over x\,-\,2} \) är given.
<b>Vad händer med \( \, y \, \) när \( \; x \to \infty \; \)? </b> Funktionens graf till höger visar:
|
<td>\( \quad \)</td>
<td>
| Bestäm \( \qquad\qquad\quad \displaystyle \lim_{\color{Red} {x \to 2}}\,{10 \over x\,-\,2} \)
Kort: \( \; \qquad y \to +\infty \quad {\rm när} \quad x \to 2^+ \)
Kort: \( \; \qquad y \to -\infty \quad {\rm när} \quad x \to 2^- \) \({\rm Slutsats: \qquad\quad Gränsvärde\;\,saknas.}\) |
\( \quad \) |  |
Grafen visar att kurvan skjuter upp i höjden å ena sidan och ner i "djupet" å andra sidan av punkten \( \, x = 2 \). Dvs \( \, f(x)\, \) går mot \( +\, \infty \) när man närmar sig \( \, x = 2 \) från höger och mot \( -\, \infty \) när man närmar sig \( \, x = 2 \) från vänster. \( \, f(x)\, \) är inte definierad för \( x = 2\, \), därför att \( \displaystyle{10 \over x\,-\,2} \):s nämnare blir \( \, 0\, \) för \( \, x = 2 \).
Om vi uttrycker detta med pilar ser det ut så här:
- \[ {10 \over x - 2} \to +\, \infty \quad {\rm när} \; x \to 2^+ \qquad \; {\rm och} \; \qquad {10 \over x - 2} \to -\, \infty \quad {\rm när} \; x \to 2^- \]
där \( x \to 2^+ \) betyder att närma sig \( \, x = 2 \) från höger (\( \, x > 2 \)) och \( x \to 2^- \) att närma sig \( \, x = 2 \) från vänster (\( \, x < 2 \)).
Eftersom det finns två olika resultat beroende på om \( \, x \) går mot \( \, 2 \) från höger eller från vänster säger man:
\( \qquad\qquad\qquad\quad\; \) Gränsvärde saknas.
Funktionen går mot två olika håll när \( \, x \to 2 \). Men att gränsvärdet inte kan ha två olika värden för ett och samma \( \,x \) är uppenbart. Limes måste ha ett entydigt värde, annars existerar den inte.
Följande modifierad variant av Exempel 2 (\( \, {\color{Red} {x \to 0}} \, \) istället för \( \, x \to \infty \)) visar samma sak:
Exempel 2 a
Bestäm \( \qquad \displaystyle \lim_{x \to 0}\, {4\,x\,+\,5 \over x} \)
Lösning:
- \[ \lim_{x \to 0^+}\, {4\,x\,+\,5 \over x} \, = \, \lim_{x \to 0^+}\, \left(4 \,+\, {5 \over x}\right) \,= \, +\infty \]
- \[ \lim_{x \to 0^-}\, {4\,x\,+\,5 \over x} \, = \, \lim_{x \to 0^-}\, \left(4 \,+\, {5 \over x}\right) \,= \, -\infty \]
där \( x \to 0^+ \) betyder att närma sig \( \, x = 0 \) från höger (\( \, x > 0 \)) och \( x \to 0^- \) att närma sig \( \, x = 0 \) från vänster (\( \, x < 0 \)).
Anmärkning: Sättet att skriva limes som ovan är nytt och förklaras nedan i Ensidiga och oegentliga gränsvärden.
Svar: \( \qquad\;\; \) Gränsvärde saknas.
Men även om en funktion skulle gå mot t.ex. mot \( +\,\infty \), för ett visst \( \, x \) både från höger och vänster, t.ex. \( \displaystyle {f(x) = {1 \over x^2}} \) för \( \, x = 0 \), skulle det strikt matematiskt inte vara korrekt att säga att limes existerar och är \( +\,\infty \), därför att \( \infty \) inte är något värde. Med andra ord:
Därför är det strikt matematiskt korrekt att säga: Gränsvärdena \( \displaystyle {\lim_{x \to 2}\,{10 \over x - 2}} \) och \( \displaystyle {\lim_{x \to 0}\,{1 \over x^2}} \) saknas. Detta gäller i alla fall enligt en strikt definition av gränsvärdesbegreppet vars intuitiva innebörd återgavs inledningsvis.
Ensidiga och oegentliga gränsvärden
Skiljer man närmandet från höger till \( \, x = 2 \, \) från närmandet från vänster kan man bilda s.k. ensidiga gränsvärden:
- \[ \lim_{x \to 2^{+}}\,{10 \over x - 2}\,=\,+\,\infty \qquad\quad \; {\rm och} \; \qquad\quad \lim_{x \to 2^{-}}\,{10 \over x - 2}\,=\,-\,\infty \]
där \( x \to 2^+ \) betyder att närma sig \( \, x = 2 \) från höger (\( \, x > 2 \)) och \( x \to 2^- \) att närma sig \( \, x = 2 \) från vänster (\( \, x < 2 \)).
Man pratar om höger- och vänstergränsvärdet genom att skilja mellan de två sätten att närma sig talet \( \, 2 \) på \( \, x\)-axeln: från höger \( x \to 2^+ \) och från vänster \( x \to 2^- \), därav beteckningen ensidig. I vårt exempel ger de också två olika resultat.
Gränsvärden av funktioner som går mot oändligheten (och därmed strikt talat inte existerar), men ändå skrivs med limessymbolen, kallar man oegentliga gränsvärden.
Exempel
|
\( \qquad\qquad\qquad\qquad\qquad \displaystyle {\lim_{x \to 0}\,{1 \over x^2}}\,=\,+\,\infty \)
när \( \, x \to 0 \) från höger (\( \, x > 0 \)) och från vänster (\( \, x < 0 \)). Visserligen är gränsvärdet entydigt, men det är oändligt och kallas därför oegentligt.
|
\( \qquad \) |  |
Att man använder det ovannämnda skrivsättet för ensidiga och oegentliga gränsvärden sker av praktiska skäl. Man ersätter pilarna som vi använde inledningsvis med att beskriva gränsprocessen med limessymbolen istället. Det är bekvämt att använda en enhetlig notation för att beskriva gränsprocesser. Är man medveten om att limes enligt den strikta definitionen inte existerar är det o.k.
OBS! Av skrivsättet för ensidiga och oegentliga gränsvärden följer fortfarande inte att \( \displaystyle {\lim_{x \to 2}\,{10 \over x - 2}} \) eller \( \displaystyle {\lim_{x \to 0}\,{1 \over x^2}} \) existerar.
Internetlänkar
https://www.youtube.com/watch?v=_oPD-c8IAzs
https://www.youtube.com/watch?v=StP64lMXZjA
https://www.youtube.com/watch?v=fPOX0QX8AH0
Copyright © 2011-2016 Taifun Alishenas. All Rights Reserved.
