Skillnad mellan versioner av "2.3 Gränsvärde"

Exempel

Funktionen \( y = f(x) = \displaystyle {10 \over x\,-\,2} \) är given: \( \qquad\qquad \) Vad händer med \( \, y \, \) när \( \; x \to \infty \; \)?

\( \quad \)

\( \quad \)

Gränsvärdet för \( \; \displaystyle {10 \over x\,-\,2} \; -\) då \( \,x \, \) går mot \( \, \infty \, -\) är \( \, 0\)  : \( \quad\qquad\qquad\qquad\, \displaystyle {\color{Red} {\lim_{x \to \infty}}}\,{10 \over x\,-\,2} \; = \; {\color{Red} 0} \) Läs så här: \( \qquad {\rm Limes\;\,av} \; \displaystyle{10 \over x\,-\,2} \quad {\rm då} \; x \; {\rm går\;mot} \, \infty \quad {\rm är} \;\, 0 {\rm .}\) Symbolen  \( {\color{Red} {\lim}} \)  står för det latinska ordet  \( {\color{Red} {\rm limes}} \)  som betyder gräns.

Grafen visar att kurvan närmar sig \( \, x \)-axeln när \( \, x \, \) växer: \( \, y\, \) blir allt mindre ju större \( \, x \, \) blir.

Men kurvan skär aldrig \( \, x \)-axeln. Dvs funktionen går mot \( \, 0\, \) utan att nå \( \, 0 \), vilket bekräftas av \( \, y = \displaystyle{10 \over x\,-\,2} \, \): Täljaren är konstanten \( 10\, \) som aldrig kan bli \( 0\, \).

Därför kan inte heller hela uttrycket någonsin bli \( \, 0 \).

Vad händer med \( \, y \, \) när \( \; x \to - \infty \; \)?

Grafen visar ett liknande beteende när \( \, x \, \) går mot negativa värden, dvs när \( x \to \, {\color{Red} {- \infty}} \):   Även där går \( \,y\, \) mot \( \,0\, \) bara att \( \, y\, \) nu närmar sig \( \, 0 \, \) nedifrån.

"Paradoxen" att funktionen allt mer närmar sig \( \, 0 \, \) utan att någonsin bli \( \, 0 \), löses upp och kan därmed hanteras algebraiskt med hjälp av ett nytt koncept i matematiken som kallas för \( {\color{Red} {\rm limes}} \):

Funktionens graf till höger visar:

\[ y \;\; {\rm går\;mot} \, 0 \; {\rm när} \;\; x \; {\rm går\;mot} \, \infty \;{\rm .} \]

Kortare: \( \; \qquad y \to 0 \quad {\rm när} \quad x \to \infty \)

\({\rm Gränsvärdet\;\,för} \; \displaystyle{10 \over x\,-\,2} \; {\rm då} \, x \, {\rm går\;mot} \, \infty \; {\rm är} \;\, 0 {\rm .}\)

Exempel på att gränsvärde saknas

Bestäm \( \qquad\qquad\quad \displaystyle \lim_{\color{Red} {x \to 2}}\,{10 \over x\,-\,2} \) \( y \;{\rm går\;mot} \, +\infty \; {\rm när} \; x \; {\rm går\;mot} \, 2 \;{\rm från\;höger.} \) Kort: \( \; \qquad y \to +\infty \quad {\rm när} \quad x \to 2^+ \) \( y \; {\rm går\;mot} \, -\infty \; {\rm när} \; x \; {\rm går\;mot} \, 2 \;{\rm från\;vänster.} \) Kort: \( \; \qquad y \to -\infty \quad {\rm när} \quad x \to 2^- \) \({\rm Slutsats: \qquad\quad Gränsvärde\;\,saknas.}\)

\( \quad \)

Grafen visar att kurvan skjuter upp i höjden å ena sidan och ner i "djupet" å andra sidan av punkten \( \, x = 2 \). Dvs \( \, f(x)\, \) går mot \( +\, \infty \) när man närmar sig \( \, x = 2 \) från höger och mot \( -\, \infty \) när man närmar sig \( \, x = 2 \) från vänster. \( \, f(x)\, \) är inte definierad för \( x = 2\, \), därför att \( \displaystyle{10 \over x\,-\,2} \):s nämnare blir \( \, 0\, \) för \( \, x = 2 \).

Om vi uttrycker detta med pilar ser det ut så här:

\[ {10 \over x - 2} \to +\, \infty \quad {\rm när} \; x \to 2^+ \qquad \; {\rm och} \; \qquad {10 \over x - 2} \to -\, \infty \quad {\rm när} \; x \to 2^- \]

där \( x \to 2^+ \) betyder att närma sig \( \, x = 2 \) från höger (\( \, x > 2 \)) och \( x \to 2^- \) att närma sig \( \, x = 2 \) från vänster (\( \, x < 2 \)).

Eftersom det finns två olika resultat beroende på om \( \, x \) går mot \( \, 2 \) från höger eller från vänster säger man:

Funktionen går mot två olika håll när \( \, x \to 2 \). Men att gränsvärdet inte kan ha två olika värden för ett och samma \( \,x \) är uppenbart. Limes måste ha ett entydigt värde, annars existerar den inte.

Exempel

\( \qquad\qquad\qquad\qquad\qquad \displaystyle {\lim_{x \to 0}\,{1 \over x^2}}\,=\,+\,\infty \) Grafen visar att funktionen \( \displaystyle f(x) = {1 \over x^2} \) går mot \( +\,\infty \) både när \( \, x \to 0 \) från höger (\( \, x > 0 \)) och från vänster (\( \, x < 0 \)). Visserligen är gränsvärdet entydigt, men det är oändligt och kallas därför oegentligt. Däremot är \( \displaystyle \lim_{x \to 2}\,{10 \over x - 2} \) varken entydigt eller ändligt. Därför existerar det inte.

\( \qquad \)

Att man använder det ovannämnda skrivsättet för ensidiga och oegentliga gränsvärden sker av praktiska skäl. Man ersätter pilarna som vi använde inledningsvis med att beskriva gränsprocessen med limessymbolen istället. Det är bekvämt att använda en enhetlig notation för att beskriva gränsprocesser. Är man medveten om att limes enligt den strikta definitionen inte existerar är det o.k.

OBS! Av skrivsättet för ensidiga och oegentliga gränsvärden följer fortfarande inte att \( \displaystyle {\lim_{x \to 2}\,{10 \over x - 2}} \) eller \( \displaystyle {\lim_{x \to 0}\,{1 \over x^2}} \) existerar.