Skillnad mellan versioner av "3.1 Lösning 4b"
Taifun (Diskussion | bidrag) m |
Taifun (Diskussion | bidrag) m |
||
| Rad 55: | Rad 55: | ||
För alla <math> {\color{White} {xxxxxx}} x > 5 {\color{White} x} </math> är <math>\, f(x) </math> avtagande. | För alla <math> {\color{White} {xxxxxx}} x > 5 {\color{White} x} </math> är <math>\, f(x) </math> avtagande. | ||
| + | |||
| + | |||
| + | För alla <math> \qquad\quad\;\, x \, < \,1 \, </math> är <math>\, f(x) </math> avtagande. | ||
| + | |||
| + | I intervallet <math> \; 1 < x \,< \, 5 \, </math> är <math>\, f(x) </math> växande. | ||
| + | |||
| + | För alla <math> \qquad\quad\; x \, > \, 5 \; </math> är <math>\, f(x) </math> avtagande. | ||
Versionen från 15 december 2016 kl. 16.41
Från a) vet vi att derivatan
\[ f'(x) \,=\, -9\,x^2 + 54\,x - 45 \]
har två nollställen \( \, x_1 = 1 \, \) och \( \, x_2 = 5 \, \).
Teckenstudie kring
- nollstället \( \, x_1 = 1 \, \):
- \[ f\,'\,(0,9) \,=\, -9\cdot 0,9^2 + 54\cdot 0,9 - 45 \,=\, -3,69 \,<\, 0 \]
- \[ f\,'\,(1,1) \,=\, -9\cdot 1,1^2 + 54\cdot 1,1 - 45 \,=\, 3,51 \,>\, 0 \]
- nollstället \( \, x_2 = 5 \, \):
- \[ f\,'\,(4,9) \,=\, -9\cdot 4,9^2 + 54\cdot 4,9 - 45 \,=\, 3,51 \,>\, 0 \]
- \[ f\,'\,(5,1) \,=\, -9\cdot 5,1^2 + 54\cdot 5,1 - 45 \,=\, -3,69 \,<\, 0 \]
Vi inför resultaten i en teckentabell:
| \(x\) | \(1\) | \(5\) | |||
| \( f\,'(x) \) | \(-\) | \(0\) | \(+\) | \(0\) | \(-\) |
| \( f(x) \) | ↘ | ↗ | ↘ |
Eftersom derivatan är en 2:a gradsfunktion och därmed inte har fler än två nollställen kan vi enligt reglerna om växande och avtagande dra slutsatserna:
För alla \( {\color{White} {xxxxxx}} x < 1 {\color{White} x} \) är \(\, f(x) \) avtagande.
I intervallet \( {\color{White} x} 1 < x < 5 {\color{White} x} \) är \(\, f(x) \) växande.
För alla \( {\color{White} {xxxxxx}} x > 5 {\color{White} x} \) är \(\, f(x) \) avtagande.
För alla \( \qquad\quad\;\, x \, < \,1 \, \) är \(\, f(x) \) avtagande.
I intervallet \( \; 1 < x \,< \, 5 \, \) är \(\, f(x) \) växande.
För alla \( \qquad\quad\; x \, > \, 5 \; \) är \(\, f(x) \) avtagande.
