Skillnad mellan versioner av "3.4 Lösning 2b"
Taifun (Diskussion | bidrag) m |
Taifun (Diskussion | bidrag) m |
||
| Rad 1: | Rad 1: | ||
| − | '''Steg 1''' <math>\begin{array}{rcl} f(x) & = & \displaystyle x \, - \, \frac{x^3}{3} \\ | + | '''Steg 1''' |
| + | <math>\begin{array}{rcl} f(x) & = & \displaystyle x \, - \, \frac{x^3}{3} \\ | ||
f'(x) & = & 1 \, - \, x^2 \\ | f'(x) & = & 1 \, - \, x^2 \\ | ||
f''(x) & = & - 2\,x | f''(x) & = & - 2\,x | ||
| − | + | \end{array}</math> | |
'''Steg 2''' Sätter derivatan till <math> \, 0 \, </math> och löser ekvationen, dvs beräknar derivatans nollställen: | '''Steg 2''' Sätter derivatan till <math> \, 0 \, </math> och löser ekvationen, dvs beräknar derivatans nollställen: | ||
Versionen från 20 januari 2017 kl. 14.20
Steg 1 \(\begin{array}{rcl} f(x) & = & \displaystyle x \, - \, \frac{x^3}{3} \\ f'(x) & = & 1 \, - \, x^2 \\ f''(x) & = & - 2\,x \end{array}\)
Steg 2 Sätter derivatan till \( \, 0 \, \) och löser ekvationen, dvs beräknar derivatans nollställen:
| \( \qquad\;\; \begin{array}{rcl} 1 \, - \, x^2 & = & 0 \\
x^2 & = & 1 \\
&\Downarrow& \\
x_1 & = & 1 \\
x_2 & = & -1
\end{array}\)
|
\( \quad \) | Vieta:
|
\( \quad \) |
\( \begin{array}{rclclcl} x_1 \cdot x_2 & = & q & & & = & 15 \\ x_1 + x_2 & = & -p & = & -(-8) & = & 8 \\ &\Downarrow& \\ x_1 & = & 3 \\ x_2 & = & 5 \end{array}\) |
\( \qquad\quad x_1 = 3 \, \) och \( \, x_2 = 5 \, \) är \( x\)-koordinater till eventuella lokala maximi-, minimi- eller terasspunkter.
Steg 3 Sätt in derivatans nollställen i andraderivatan och använd reglerna om max/min samt regeln om terasspunkt:
| \( \qquad\quad \underline{x_1 = 3} \, \):
|
\( \quad \) |
\[ f''(x) \, = \, 6\,x - 24 \] \[ f''(3) \, = \, 6\cdot 3 - 24 = -6 < 0 \quad \Longrightarrow \quad x_1 = 3 \quad {\rm lokalt\;maximum.} \] |
| \( \qquad\quad \underline{x_2 = 5} \, \): | \( \quad \) |
\( f''(5) \, = \, 6\cdot 5 - 24 = 6 > 0 \quad \Longrightarrow \quad x_2 = 5 \quad {\rm lokalt\;minimum.} \) |
- \[ \; f''(3) \neq 0 \quad {\rm och} \quad f''(5) \neq 0 \quad \Longrightarrow \quad f(x) \, {\rm har\;inga\;terasspunkter.} \]
Steg 4 Beräkna de lokala maximi- och minimipunkternas \( y\)-koordinater:
- \[ f(x) \, = \, x^3 - 12\,x^2 + 45\,x - 44 \]
- \[ f(3) \, = \, 3^3 - 12\cdot 3^2 + 45\cdot 3 - 44 = 10 \; \Longrightarrow \quad (3, 10) \quad {\rm är\;lokal\;maximipunkt.} \]
- \[ f(5) \, = \, 5^3 - 12\cdot 5^2 + 45\cdot 5 - 44 = 6 \quad \Longrightarrow \quad\; (5, 6) \quad {\rm är\;lokal\;minimipunkt.} \]
b) Största och minsta värden: Beräkna funktionsvärdena i definitionsintervallets ändpunkter \( \, 1 \, \) och \( \, 7 \) och
- jämför dem med de lokala extrempunkternas \( y\)-koordinater:
- \[ f(x) \, = \, x^3 - 12\,x^2 + 45\,x - 44 \]
- \[ f(1) \, = \, 1^3 - 12\cdot 1^2 + 45\cdot 1 - 44 = -10 \]
- \[ f(7) \, = \, 7^3 - 12\cdot 7^2 + 45\cdot 7 - 44 = 26 \]
- Lokala minimivärdet var \( \, 6 \, \), se a), steg 4.
- \[ -10 \, < \, 6 \quad \Longrightarrow \quad -10 \quad {\rm är\;funktionens\;minsta\;värde:\;globalt\;minimum.} \]
- Lokala maximivärdet var \( \, 10 \, \), se a), steg 4.
- \[ 26 \, > \, 10 \quad \Longrightarrow \quad 26 \quad {\rm är\;funktionens\;största\;värde:\;globalt\;maximum.} \]
- De globala extremvärdena \( \, -10 \, \) och \( \, 26 \) antas av funktionen i definitionsintervallets ändpunkter
- därför att intervallet \( \, 1 \leq x \leq 7 \, \) är slutet, dvs ändarna tillhör intervallet.
