Skillnad mellan versioner av "3.4 Lösning 2b"
Taifun (Diskussion | bidrag) m |
Taifun (Diskussion | bidrag) m |
||
| Rad 70: | Rad 70: | ||
:::<math> \displaystyle 6 \, > \, \frac{2}{3} \quad \Longrightarrow \quad 6 \quad {\rm är\;funktionens\;största\;värde:\;globalt\;maximum.} </math> | :::<math> \displaystyle 6 \, > \, \frac{2}{3} \quad \Longrightarrow \quad 6 \quad {\rm är\;funktionens\;största\;värde:\;globalt\;maximum.} </math> | ||
| − | + | Värdena <math> \, -6 \, </math> och <math> \, 6 </math> antas av funktionen i definitionsintervallets ändpunkter, | |
| − | + | eftersom intervallet <math> \, -3 \leq x \leq 3 \, </math> är slutet (ändarna tillhör intervallet. Därför är de globala extrema. | |
:::<math> (-3, -6) \quad {\rm är\;global\;minimipunkt.} </math> | :::<math> (-3, -6) \quad {\rm är\;global\;minimipunkt.} </math> | ||
:::<math> (3, 6) \quad {\rm är\;global\;maximipunkt.} </math> | :::<math> (3, 6) \quad {\rm är\;global\;maximipunkt.} </math> | ||
Versionen från 20 januari 2017 kl. 15.16
Lokala maxima och minima
- \[\begin{array}{rcl} f(x) & = & \displaystyle x \, - \, \frac{x^3}{3} \\ f'(x) & = & 1 \, - \, x^2 \\ f''(x) & = & - 2\,x \end{array}\]
Sätter derivatan till \( \, 0 \, \) och beräknar derivatans nollställen:
- \[ \qquad\;\; \begin{array}{rcl} 1 \, - \, x^2 & = & 0 \\ x^2 & = & 1 \\ &\Downarrow& \\ x_1 & = & 1 \\ x_2 & = & -1 \end{array}\]
Sätter in derivatans nollställen i andraderivatan:
| \( \qquad\quad \underline{x_1 = 1} \, \):
|
\( \quad \) |
\[ \;\; f''(x) \, = \, - 2\,x \] \[ \;\; f''(1) \, = \, - 2 \cdot 1 \, = \, -2 < 0 \quad \Longrightarrow \quad x_1 = 1 \quad {\rm lokalt\;maximum.} \] |
| \( \qquad\quad \underline{x_2 = -1} \): | \( \quad \) |
\( f''(-1) \, = \, - 2 \cdot (-1) \, = \, 2 > 0 \quad \Longrightarrow \quad x_2 = -1 \quad {\rm lokalt\;minimum.} \) |
De lokala maximi- och minimipunkternas \( y\)-koordinater:
- \[ f(x) \, = \, \displaystyle x \, - \, \frac{x^3}{3} \]
- \[ f(1) \, = \, \displaystyle 1 \, - \, \frac{1}{3} = \frac{2}{3} \; \Longrightarrow \quad (1, \frac{2}{3}) \quad {\rm är\;lokal\;maximipunkt.} \]
- \[ f(-1) \, = \, \displaystyle{-1 \, - \, \frac{-1}{3} = -1 \, + \, \frac{1}{3} = -\frac{2}{3}} \quad \Longrightarrow \quad\; (-1, -\frac{2}{3}) \quad {\rm är\;lokal\;minimipunkt.} \]
Globala maxima och minima
Beräknar funktionsvärdena i definitionsintervallets ändpunkter \( \, -3 \, \) och \( \, 3 \):
- \[ f(x) \, = \, \displaystyle x \, - \, \frac{x^3}{3} \]
- \[ f(3) \, = \, \displaystyle 3 \, - \, \frac{3^3}{3} = -6 \]
- \[ f(-3) \, = \, \displaystyle -3 \, - \, \frac{(-3)^3}{3} = -3 \, + \, 9 = 6 \]
Jämför dem med de lokala extrempunkternas \( y\)-koordinater:
- Lokala minimivärdet var \( \, \displaystyle -\frac{2}{3} \, \), se ovan.
- \[ \displaystyle -6 \, < \, -\frac{2}{3} \quad \Longrightarrow \quad -6 \quad {\rm är\;funktionens\;minsta\;värde:\;globalt\;minimum.} \]
- Lokala maximivärdet var \( \, \displaystyle \frac{2}{3} \, \), se ovan.
- \[ \displaystyle 6 \, > \, \frac{2}{3} \quad \Longrightarrow \quad 6 \quad {\rm är\;funktionens\;största\;värde:\;globalt\;maximum.} \]
Värdena \( \, -6 \, \) och \( \, 6 \) antas av funktionen i definitionsintervallets ändpunkter,
eftersom intervallet \( \, -3 \leq x \leq 3 \, \) är slutet (ändarna tillhör intervallet. Därför är de globala extrema.
- \[ (-3, -6) \quad {\rm är\;global\;minimipunkt.} \]
- \[ (3, 6) \quad {\rm är\;global\;maximipunkt.} \]
