Skillnad mellan versioner av "3.4 Lösning 2b"
Taifun (Diskussion | bidrag) m |
Taifun (Diskussion | bidrag) m |
||
| Rad 18: | Rad 18: | ||
<table> | <table> | ||
<tr> | <tr> | ||
| − | <td><math> | + | <td><math> \quad \underline{x_1 = 1} \, </math><span style="color:black">:</span> |
| Rad 25: | Rad 25: | ||
<td><math> \quad </math></td> | <td><math> \quad </math></td> | ||
<td> | <td> | ||
| − | + | <math> \;\; f''(x) \, = \, - 2\,x </math> | |
| − | + | <math> \;\; f''(1) \, = \, - 2 \cdot 1 \, = \, -2 < 0 \quad \Longrightarrow \quad x_1 = 1 \quad {\rm lokalt\;maximum.} </math></td> | |
</tr> | </tr> | ||
</table> | </table> | ||
| Rad 43: | Rad 43: | ||
De lokala maximi- och minimipunkternas <math> y</math>-koordinater<span style="color:black">:</span> | De lokala maximi- och minimipunkternas <math> y</math>-koordinater<span style="color:black">:</span> | ||
| − | + | :<math> f(x) \, = \, \displaystyle x \, - \, \frac{x^3}{3} </math> | |
| − | + | :<math> f(1) \, = \, \displaystyle 1 \, - \, \frac{1}{3} = \frac{2}{3} \; \Longrightarrow \quad (1, \frac{2}{3}) \quad {\rm är\;lokal\;maximipunkt.} </math> | |
| − | + | :<math> f(-1) \, = \, \displaystyle{-1 \, - \, \frac{-1}{3} = -1 \, + \, \frac{1}{3} = -\frac{2}{3}} \quad \Longrightarrow \quad\; (-1, -\frac{2}{3}) \quad {\rm är\;lokal\;minimipunkt.} </math> | |
| Rad 54: | Rad 54: | ||
Beräknar funktionsvärdena i definitionsintervallets ändpunkter <math> \, -3 \, </math> och <math> \, 3 </math><span style="color:black">:</span> | Beräknar funktionsvärdena i definitionsintervallets ändpunkter <math> \, -3 \, </math> och <math> \, 3 </math><span style="color:black">:</span> | ||
| − | + | :<math> f(x) \, = \, \displaystyle x \, - \, \frac{x^3}{3} </math> | |
| − | + | :<math> f(3) \, = \, \displaystyle 3 \, - \, \frac{3^3}{3} = -6 </math> | |
| − | + | :<math> f(-3) \, = \, \displaystyle -3 \, - \, \frac{(-3)^3}{3} = -3 \, + \, 9 = 6 </math> | |
Jämför dem med de lokala extrempunkternas <math> y</math>-koordinater<span style="color:black">:</span> | Jämför dem med de lokala extrempunkternas <math> y</math>-koordinater<span style="color:black">:</span> | ||
| − | + | :Lokala minimivärdet var <math> \, \displaystyle -\frac{2}{3} \, </math>, se ovan. | |
| − | + | :<math> \displaystyle -6 \, < \, -\frac{2}{3} \quad \Longrightarrow \quad -6 \quad {\rm är\;funktionens\;minsta\;värde:\;globalt\;minimum.} </math> | |
| − | + | :Lokala maximivärdet var <math> \, \displaystyle \frac{2}{3} \, </math>, se ovan. | |
| − | + | :<math> \displaystyle 6 \, > \, \frac{2}{3} \quad \Longrightarrow \quad 6 \quad {\rm är\;funktionens\;största\;värde:\;globalt\;maximum.} </math> | |
Värdena <math> \, -6 \, </math> och <math> \, 6 </math> antas av funktionen i definitionsintervallets ändpunkter, | Värdena <math> \, -6 \, </math> och <math> \, 6 </math> antas av funktionen i definitionsintervallets ändpunkter, | ||
| Rad 74: | Rad 74: | ||
eftersom intervallet <math> \, -3 \leq x \leq 3 \, </math> är slutet (ändarna tillhör intervallet. Därför är de globala extrema. | eftersom intervallet <math> \, -3 \leq x \leq 3 \, </math> är slutet (ändarna tillhör intervallet. Därför är de globala extrema. | ||
| − | + | :<math> (-3, -6) \quad {\rm är\;global\;minimipunkt.} </math> | |
| − | + | :<math> (3, 6) \quad {\rm är\;global\;maximipunkt.} </math> | |
Versionen från 20 januari 2017 kl. 15.23
Lokala maxima och minima
- \[\begin{array}{rcl} f(x) & = & \displaystyle x \, - \, \frac{x^3}{3} \\ f'(x) & = & 1 \, - \, x^2 \\ f''(x) & = & - 2\,x \end{array}\]
Sätter derivatan till \( \, 0 \, \) och beräknar derivatans nollställen:
- \[ \qquad\;\; \begin{array}{rcl} 1 \, - \, x^2 & = & 0 \\ x^2 & = & 1 \\ &\Downarrow& \\ x_1 & = & 1 \\ x_2 & = & -1 \end{array}\]
Sätter in derivatans nollställen i andraderivatan:
| \( \quad \underline{x_1 = 1} \, \):
|
\( \quad \) |
\( \;\; f''(x) \, = \, - 2\,x \) \( \;\; f''(1) \, = \, - 2 \cdot 1 \, = \, -2 < 0 \quad \Longrightarrow \quad x_1 = 1 \quad {\rm lokalt\;maximum.} \) |
| \( \qquad\quad \underline{x_2 = -1} \): | \( \quad \) |
\( f''(-1) \, = \, - 2 \cdot (-1) \, = \, 2 > 0 \quad \Longrightarrow \quad x_2 = -1 \quad {\rm lokalt\;minimum.} \) |
De lokala maximi- och minimipunkternas \( y\)-koordinater:
\[ f(x) \, = \, \displaystyle x \, - \, \frac{x^3}{3} \]
\[ f(1) \, = \, \displaystyle 1 \, - \, \frac{1}{3} = \frac{2}{3} \; \Longrightarrow \quad (1, \frac{2}{3}) \quad {\rm är\;lokal\;maximipunkt.} \]
\[ f(-1) \, = \, \displaystyle{-1 \, - \, \frac{-1}{3} = -1 \, + \, \frac{1}{3} = -\frac{2}{3}} \quad \Longrightarrow \quad\; (-1, -\frac{2}{3}) \quad {\rm är\;lokal\;minimipunkt.} \]
Globala maxima och minima
Beräknar funktionsvärdena i definitionsintervallets ändpunkter \( \, -3 \, \) och \( \, 3 \):
\[ f(x) \, = \, \displaystyle x \, - \, \frac{x^3}{3} \]
\[ f(3) \, = \, \displaystyle 3 \, - \, \frac{3^3}{3} = -6 \]
\[ f(-3) \, = \, \displaystyle -3 \, - \, \frac{(-3)^3}{3} = -3 \, + \, 9 = 6 \]
Jämför dem med de lokala extrempunkternas \( y\)-koordinater:
- Lokala minimivärdet var \( \, \displaystyle -\frac{2}{3} \, \), se ovan.
\[ \displaystyle -6 \, < \, -\frac{2}{3} \quad \Longrightarrow \quad -6 \quad {\rm är\;funktionens\;minsta\;värde:\;globalt\;minimum.} \]
- Lokala maximivärdet var \( \, \displaystyle \frac{2}{3} \, \), se ovan.
\[ \displaystyle 6 \, > \, \frac{2}{3} \quad \Longrightarrow \quad 6 \quad {\rm är\;funktionens\;största\;värde:\;globalt\;maximum.} \]
Värdena \( \, -6 \, \) och \( \, 6 \) antas av funktionen i definitionsintervallets ändpunkter,
eftersom intervallet \( \, -3 \leq x \leq 3 \, \) är slutet (ändarna tillhör intervallet. Därför är de globala extrema.
\[ (-3, -6) \quad {\rm är\;global\;minimipunkt.} \]
\[ (3, 6) \quad {\rm är\;global\;maximipunkt.} \]
