Skillnad mellan versioner av "2.3 Fördjupning till Gränsvärde"

Från Mathonline
Hoppa till: navigering, sök
m
m
Rad 12: Rad 12:
  
 
[[Media: Lektion_14_Gransvarde_Rutab.pdf|<b><span style="color:blue">Lektion 14 Gränsvärde</span></b>]]
 
[[Media: Lektion_14_Gransvarde_Rutab.pdf|<b><span style="color:blue">Lektion 14 Gränsvärde</span></b>]]
 +
  
 
<big>
 
<big>
−
Vårt mål i detta kapitel är att definiera begreppet <b><span style="color:red">derivata</span></b>. Men eftersom derivata är ett gränsvärde, måste vi först veta vad gränsvärde är för något.
+
=== <b><span style="color:#931136">Existens av gränsvärden</span></b> ===
  
−
Förutsättning i detta avsnitt är att alla funktioner <math> \, y = f(x) \, </math> är [[1.5_Kontinuerliga_och_diskreta_funktioner|<b><span style="color:blue">kontinuerliga</span></b>]] för alla <math> \, x \, </math> av det betraktade området.
+
Inledningsvis bestämdes i detta avsnitt [[2.3_Gränsvärde#Exempel|<b><span style="color:blue">gränsvärdet</span></b>]] av <math> \, \displaystyle \lim_{x \to \infty}\,{10 \over x\,-\,2} \, </math> till <math> \, 0 \, </math> utan att fråga om den överhuvudtaget ''existerade''. Själva bestämmandet av gränsvärdet <math> \, 0 \, </math> bevisade ju existensen. Men det finns faktiskt fall där ett gränsvärde ''inte'' existerar och därför inte heller kan bestämmas.
  
−
 
+
Som exempel tar vi samma funktion som i det inledande [[2.3_Gränsvärde#Exempel|<b><span style="color:blue">exemplet</span></b>]], men byter frågeställningen:
−
<big><b><span style="color:#931136">Exempel på gränsvärde</span></b></big> <!-- &nbsp; <b>Uppgift 3438 (3c-boken, sid 190):</b> -->
+
−
<table>
+
−
<tr>
+
−
<td><div class="ovnE0">
+
−
En fallskärmshoppare faller fritt med hastigheten
+
−
 
+
−
<math> \qquad\quad\;\;\; </math> <div class="smallBoxVariant"><math> v(t) = 80\,(1 - 0,88\,^t) </math></div>
+
−
 
+
−
där <math> \, t = \, </math> tiden i sek. Finns det en maximal hastighet
+
−
 
+
−
<math> \, v_{max} \, </math> som hopparen inte kan överskrida?
+
−
</div>
+
−
 
+
−
<b>Grafisk och fysikalisk tolkning:</b>
+
−
 
+
−
Grafen till <math> \, v(t) \, </math> visar att det finns en maximal hastighet <math> \, v_{max} = 80 </math> m/s <math> \;\; </math>
+
−
</td>
+
−
  <td>[[Image: 5 186 Uppg 3438 Fritt falla.jpg]]</td>
+
−
</tr>
+
−
</table>
+
−
som hopparen inte kan överskrida<span style="color:black">:</span> <math> \, v <  v_{max} </math>. Efter ca. 40 sek är <math> v \, \approx \, v_{max} \, </math> då hastigheten blir konstant <math> \, \approx 80 </math> m/s.
+
−
 
+
−
Enligt [https://www.naturvetenskap.org/fysik/gymnasiefysik/kraft/newtons-1a-lag/ <b><span style="color:blue">Newtons fösta lag</span></b>] är summan av alla krafter <math> \, = 0 \, </math> när ett föremål är i vila eller rör sig med konstant hastighet (och omvänt).
+
−
 
+
−
Därav följer<span style="color:black">:</span> <math> \qquad </math> Luftmotstånd <math> \, \approx \, </math> gravitation <math> \qquad </math> dvs <math> \qquad </math> rörelsen är ett fritt fall med luftmotstånd.
+
−
 
+
−
<b>Matematisk lösning:</b>
+
−
 
+
−
<div class="border-divblue"><math> </math><b><span style="color:red">Gränsvärdet</span></b>&nbsp; för <math> \, 80\,(1 - 0,88\,^t) \, </math>,&nbsp; då <math> \,t \, </math> går mot <math> \, \infty \; </math>,&nbsp; <b><span style="color:red">är <math> \, 80</math></span></b>&nbsp; .
+
−
 
+
−
Man skriver<span style="color:black">:</span> <math> \qquad \displaystyle {\color{Red} {\lim_{t \to \infty}}}\,{\left(80\,(1 - 0,88\,^t)\right)} {\color{Red} { \; = \; 80}} \qquad </math> och läser<span style="color:black">:</span>
+
−
 
+
−
<math> \qquad\;\; </math> Limes av <math> \, 80\,(1 - 0,88\,^t) \, </math>, då <math> t </math> går mot <math> \infty \, </math>, är <math> 80 </math>.
+
−
 
+
−
<math> {\color{Red} {\lim}} \, </math> står för det latinska ordet <math> \, {\color{Red} {\rm limes}} \, </math> som betyder gräns.
+
−
</div>
+
−
 
+
−
<b>Limes kan beräknas:</b>
+
−
 
+
−
<math> v_{max} \, = \, \displaystyle \lim_{t \to \infty}\,{(80\,(1 - 0,88\,^t))} \, = \, \lim_{t \to \infty}\,{(80 - 80\cdot0,88\,^t)} \, = \, \lim_{t \to \infty}\,{80} - \lim_{t \to \infty}\,{(80\cdot0,88\,^t)} \, = \, 80 \, - \, 0 \, = \, 80 \, </math>,
+
−
 
+
−
eftersom <math> \qquad\;\; \displaystyle \lim_{t \to \infty}\,{(80\cdot0,88\,^t)} \, = \, \lim_{t \to \infty}\,{80} \cdot \lim_{t \to \infty}\,{(0,88\,^t)} \, = \, 80 \cdot 0 \, = \, 0 \quad </math> pga <math> \quad 0,88 \, < \, 1 \; </math>.
+
−
 
+
−
=== <b><span style="color:#931136">Gränsvärde för en funktion</span></b> ===
+
  
 
<div class="exempel">
 
<div class="exempel">
−
==== <b><span style="color:#931136">Exempel</span></b> ====
+
==== <b><span style="color:#931136">Exempel på att gränsvärde saknas</span></b> ====
  
−
Funktionen <math> y = f(x) = \displaystyle {10 \over x\,-\,2} </math> är given<span style="color:black">:</span> <math> \qquad\qquad </math> <b><span style="color:red">Vad händer med <math> \, y \, </math> när <math> \; x \to \infty \; </math>?</span></b>
+
Funktionen <math> y = f(x) = \displaystyle {10 \over x\,-\,2} </math> är given<span style="color:black">:</span> <math> \qquad\qquad\qquad </math> <b><span style="color:red">Vad händer med <math> \, y \, </math> när <math> \; x \to 2 \; </math>?</span></b>
 
<table>
 
<table>
 
<tr>
 
<tr>
−
   <td><math> \quad </math>[[Image: Ex 1 Gransvarde.jpg]]</td>
+
   <td>Dvs bestäm <math> \qquad\quad \displaystyle \lim_{\color{Red} {x \to 2}}\,{10 \over x\,-\,2} </math>
−
<td><math> \quad </math></td>
+
−
  <td><div class="border-divblue"><b><span style="color:red">Gränsvärdet</span></b>&nbsp; för <math> \, \displaystyle {10 \over x\,-\,2} \, </math>,&nbsp; då <math> \,x \, </math> går mot <math> \, \infty \; </math>,&nbsp;  <b><span style="color:red">är <math> \, 0</math></span></b> &nbsp;<span style="color:black">:</span>
+
  
 +
'''Svar:''' <math> \quad\;\; f(x)\, </math> är inte definierad för <math> x = 2\, </math>.
  
−
<math> \quad\qquad\qquad\qquad\, \displaystyle {\color{Red} {\lim_{x \to \infty}}}\,{10 \over x\,-\,2} {\color{Red} { \; = \; 0}} </math>
+
<math> \qquad\qquad\qquad\qquad\quad \Downarrow </math>
−
</div>
+
  
 +
<div class="border-divblue"><math> \displaystyle \lim_{\color{Red} {x \to 2}}\,{10 \over x\,-\,2} \quad </math> <b>existerar inte</b>&nbsp;&nbsp;&nbsp;<span style="color:black">:</span>
  
−
'''Grafiskt''':&nbsp; Kurvan närmar sig <math> \, x </math>-axeln när <math> \, x \, </math> växer, dvs <math> \, y\, </math> blir allt mindre ju större <math> \, x \, </math> blir.
 
  
−
Men kurvan skär aldrig <math> \, x </math>-axeln. Funktionen går mot <math> \, 0\, </math> utan att nå <math> \, 0 </math>.
+
<math> \qquad </math> <b><span style="color:red">Gränsvärde saknas.</span></b>
 +
</div>
 
</td>
 
</td>
 +
  <td><math> \qquad </math></td>
 +
  <td>[[Image: Ex 2 Gransvarde.jpg]]</td>
 
</tr>
 
</tr>
 
</table>
 
</table>
−
'''Analytiskt''':&nbsp; Ekvationen <math> \, \displaystyle {10 \over x\,-\,2} \, = \, 0 \, </math> saknar lösning, därför att täljaren <math> \, 10\, </math> är en konstant som aldrig kan bli <math> \, 0 </math>. Så kan inte heller hela uttrycket i vänsterled bli <math> \, 0 \, </math> oavsett <math> \, x </math>. Nämnaren växer däremot obegränsat när <math> \, x \, </math> växer. Därför går hela uttrycket i vänsterled mot <math> \, 0 </math>.
 
  
−
Man säger<span style="color:black">:</span> <math> \; \displaystyle {10 \over x\,-\,2} \; {\rm går\;mot} \, 0 \; {\rm när} \; x \; {\rm går\;mot} \, \infty \, </math>, kort<span style="color:black">:</span> <math> \;\; \displaystyle {10 \over x\,-\,2} \to 0 \quad {\rm när} \quad x \to \infty \;\; </math>, bättre uttryckt<span style="color:black">:</span> <math> \, \boxed{ \displaystyle \lim_{x \to \infty}\,{10 \over x\,-\,2} \, = \, 0} \, </math>.
+
Grafen visar att kurvan skjuter upp i höjden å ena sidan och ner i "djupet" å andra sidan av punkten <math> \, x = 2 </math>.
  
−
<b><span style="color:red">Vad händer med <math> \, y \, </math> när <math> \; x \to - \infty \; </math>?</span></b>
+
Algebraiskt är <math> \, f(x)\, </math> inte definierad för <math> x = 2\, </math>, för <math> \displaystyle{10 \over x\,-\,2} </math>:s nämnare blir <math> \, 0\, </math> för <math> \, x = 2 </math>.
  
−
Något liknande visas när <math> \, x \, </math> går mot negativa värden, dvs när <math> x \to \, {\color{Red} {- \infty}} </math>: &nbsp; <math> \,y\, </math> mot <math> \,0\, </math> bara att <math> \, y\, </math> nu närmar sig <math> \, 0 \, </math> nedifrån, kort<span style="color:black">:</span> <math> \;\; y \to 0 \quad {\rm när} \quad x \to {\color{Red} {- \infty}} \; </math>.
+
Dessutom finns det två olika resultat beroende på om <math> \, x </math> går mot <math> \, 2 </math> från höger eller från vänster<span style="color:black">:</span>  
−
</div>
+
  
 +
<math> f(x)\, </math> går mot <math> +\, \infty </math> när man närmar sig <math> \, x = 2 </math> från höger och mot <math> -\, \infty </math> när man närmar sig <math> \, x = 2 </math> från vänster. Med pilar<span style="color:black">:</span>
  
−
"Paradoxen" att funktionen allt mer närmar sig <math> \, 0 \, </math> utan att någonsin bli <math> \, 0 </math>, löses upp och kan därmed hanteras analytiskt med hjälp av <b><span style="color:red">limes</span></b> som generellt beskriver fenomenet att närma sig ett värde allt mer utan att nå det någonsin.
+
<math> y \;\; {\rm går\;mot} \, +\infty \; {\rm när} \; x \; {\rm går\;mot} \, 2 \;{\rm från\;höger:} \; \qquad\quad y \to +\infty \quad {\rm när} \quad x \to 2^+ </math>
  
−
Limesbegreppet är centralt inom <b><span style="color:red">Analys</span></b><math>-</math> den gren av matematiken som [https://sv.wikipedia.org/wiki/Isaac_Newton <b><span style="color:blue">Newton</span></b>] och [https://sv.wikipedia.org/wiki/Gottfried_Wilhelm_von_Leibniz <b><span style="color:blue">Leibniz</span></b>] på 1700-talet la grunden till, även kallad <b><span style="color:red">Differential- och Integralkalkyl</span></b>, på engelska <b><span style="color:red">Calculus</span></b>. Det är därför vi numera använder begreppet "analytiskt" istället för "algebraiskt".
+
<math> y \;\; {\rm går\;mot} \, -\infty \; {\rm när} \; x \; {\rm går\;mot} \, 2 \;{\rm från\;vänster:} \; \qquad\; y \to -\infty \quad {\rm när} \quad x \to 2^- </math>
  
−
I detta kapitel kommer vi att använda limes för att definiera derivatan analytiskt som ett gränsvärde. För att kunna göra det måste vi lära oss att <b><span style="color:red">beräkna</span></b> gränsvärden.
+
där <math> x \to 2^+ </math> betyder att närma sig <math> \, x = 2 </math> från höger (<math> \, x > 2 </math>) och <math> x \to 2^- </math> att närma sig <math> \, x = 2 </math> från vänster (<math> \, x < 2 </math>).
−
</big>
+
</div>
  
  
−
== <b><span style="color:#931136">Beräkning av gränsvärden</span></b> ==
+
Följande modifierad variant av [[2.3_Gränsvärde#Exempel_2|<b><span style="color:blue">Exempel 2</span></b>]] (<math> \, {\color{Red} {x \to 0}} \, </math> istället för <math> \, x \to \infty </math>) visar samma sak:
−
 
+
−
<big>
+
−
I princip kan limes av en funktion beräknas genom att sätta in i funktionsuttrycket det värde som <math> \,x \, </math> ska gå emot. Men ofta ger detta odefinierade uttryck.
+
−
 
+
−
Därför måste man först <b><span style="color:red">förenkla uttrycket</span></b>, ev. flera gånger. Sedan sätts in det värde som <math> \,x \, </math> ska gå emot, i funktionsuttrycket.
+
 
</big>
 
</big>
  
  
 
<div class="ovnE">
 
<div class="ovnE">
−
==== <b><span style="color:#931136">Exempel 1</span></b> ====
 
  
−
Bestäm <math> \qquad \displaystyle \lim_{x \to 0}\, {x^2 + 7\,x \over x} </math>
+
==== <b><span style="color:#931136">Exempel 2 a</span></b> ====
  
−
<b>Lösning:</b>
+
Bestäm <math> \qquad \displaystyle \lim_{x \to 0}\, {4\,x\,+\,5 \over x} </math>
−
 
+
−
För <math> \, x = 0 \, </math> är uttrycket <math> \, \displaystyle{x^2 + 7\,x \over x} \, </math> inte definierat därför att nämnaren blir <math> \, 0 </math>.
+
−
 
+
−
Därför måste vi förenkla uttrycket.
+
−
 
+
−
Vi faktoriserar uttryckets täljare för att kolla om man ev. kan förkorta.
+
−
 
+
−
Täljaren kan faktoriseras genom att bryta ut <math> x \, </math>:
+
−
 
+
−
::<math> \lim_{x \to 0}\, {x^2 + 7\,x \over x} \, = \, \lim_{x \to 0}\, {{\color{Red} x}\:(x + 7) \over {\color{Red} x}} \, = \, \lim_{x \to 0}\, (x + 7) \, = \, 0 + 7 \, = \, 7 </math>
+
−
</div>
+
−
 
+
−
 
+
−
<div class="ovnE">
+
−
==== <b><span style="color:#931136">Exempel 2</span></b> ====
+
−
 
+
−
Bestäm <math> \qquad \displaystyle \lim_{x \to \infty}\, {4\,x\,+\,5 \over x} </math>
+
  
 
<b>Lösning:</b>
 
<b>Lösning:</b>
  
−
Vi förenklar uttrycket i limes genom att separera summan i uttrycket:
+
::<math> \lim_{x \to 0^+}\, {4\,x\,+\,5 \over x} \, = \, \lim_{x \to 0^+}\, \left(4 \,+\, {5 \over x}\right) \,= \, +\infty </math>
  
−
::<math> {4\,x\,+\,5 \over x} = {4\,{\color{Red} x} \over {\color{Red} x}} \,+\,{5 \over x} \,=\, 4 \,+\, {5 \over x} </math>
+
::<math> \lim_{x \to 0^-}\, {4\,x\,+\,5 \over x} \, = \, \lim_{x \to 0^-}\, \left(4 \,+\, {5 \over x}\right) \,= \, -\infty </math>
  
−
<math> \displaystyle{5 \over x} </math> går mot <math> 0 </math><span style="color:black">:</span> <math> \qquad \displaystyle \lim_{x \to \infty}\, {5 \over x} \, = \, 0 </math>
+
där <math> x \to 0^+ </math> betyder att närma sig <math> \, x = 0 </math> från höger (<math> \, x > 0 </math>) och <math> x \to 0^- </math> att närma sig <math> \, x = 0 </math> från vänster (<math> \, x < 0 </math>).
  
−
Därför kan vi bestämma limes för hela uttrycket:
+
<b>Anmärkning:</b> Sättet att skriva limes som ovan förklaras nedan i [[2.3_Gr%C3%A4nsv%C3%A4rde#Ensidiga_och_oegentliga_gr.C3.A4nsv.C3.A4rden|<b><span style="color:blue">Ensidiga och oegentliga gränsvärden</span></b>]].
  
−
::<math> \lim_{x \to \infty}\, {4\,x\,+\,5 \over x} \, = \, \lim_{x \to \infty}\, \left(4 \,+\, {5 \over x}\right) \,= \, 4\,+\,0 \,= \, 4 \;\, </math>
+
<b>Svar:</b> <math> \qquad\;\; </math> Gränsvärde saknas.
 
</div>
 
</div>
  
  
−
<div class="ovnE">
+
<big>
−
==== <b><span style="color:#931136">Exempel 3</span></b> ====
+
Men även om en funktion skulle gå mot t.ex. mot <math> +\,\infty </math>, för ett visst <math> \, x </math> både från höger och vänster, t.ex. <math> \displaystyle {f(x) = {1 \over x^2}} </math> för <math> \, x = 0 </math>, skulle det strikt matematiskt inte vara korrekt att säga att limes existerar och är <math> +\,\infty </math>, därför att <math> \infty </math> inte är något värde. Med andra ord: 
  
−
Bestäm <math> \qquad \displaystyle \lim_{x \to 2}\, {x^2\,-\,4 \over 5\,x - 10} </math>
 
  
−
<b>Lösning:</b>
+
<div class="border-divblue">Ett gränsvärde måste, för att existera, vara både entydigt och ändligt.</div>
  
−
Insättningen av <math> \, x = 2 \, </math> i uttrycket ger det odefinierade uttrycket <math> \, \displaystyle{0 \over 0} </math>.
 
  
−
Vi faktoriserar både täljaren och nämnaren för att kolla om man ev. kan förkorta.
+
Därför är det matematiskt korrekt att säga: Gränsvärdena <math> \; \displaystyle {\lim_{x \to 2}\,{10 \over x - 2}} \; </math> och <math> \; \displaystyle {\lim_{x \to 0}\,{1 \over x^2}} \;</math> existerar inte.  
 +
</big>
  
−
Täljaren kan faktoriseras med hjälp av konjugatreglen och nämnaren genom att bryta ut:
 
  
−
::<math> x^2\,-\,4 = (x\,+\,2)\cdot(x\,-\,2) </math>
+
<div class="ovnA">
 +
=== <b><span style="color:#931136">Ensidiga och oegentliga gränsvärden</span></b> ===
  
−
::<math> 5\,x - 10 = 5\,(x\,-\,2) </math>
+
Skiljer man närmandet från höger till <math> \, x = 2 \, </math> från närmandet från vänster kan man bilda s.k. <b><span style="color:red">ensidiga gränsvärden</span></b>:
  
−
Nu kan vi förkorta uttrycket och beräkna limes:
+
:::<math> \lim_{x \to 2^{+}}\,{10 \over x - 2}\,=\,+\,\infty \qquad\quad \; {\rm och} \; \qquad\quad \lim_{x \to 2^{-}}\,{10 \over x - 2}\,=\,-\,\infty </math>
  
−
::<math> \lim_{x \to 2}\, {x^2\,-\,4 \over 5\,x - 10} \, = \, \lim_{x \to 2}\, {(x + 2) \cdot {\color{Red} {(x-2)}} \over 5\,{\color{Red} {(x-2)}}} \, = \, \lim_{x \to 2} \, {x + 2 \over 5} \, = \, {2 + 2 \over 5} \, = \, {4 \over 5} \, = \, 0,8 </math>
+
där <math> x \to 2^+ </math> betyder att närma sig <math> \, x = 2 </math> från höger (<math> \, x > 2 </math>) och <math> x \to 2^- </math> att närma sig <math> \, x = 2 </math> från vänster (<math> \, x < 2 </math>).
−
</div>
+
  
 +
Man pratar om höger- och vänstergränsvärdet genom att skilja mellan de två sätten att närma sig talet <math> \, 2 </math> på <math> \, x</math>-axeln: från höger <math> x \to 2^+ </math> och från vänster <math> x \to 2^- </math>, därav beteckningen <b><span style="color:red">ensidig</span></b>. I vårt exempel ger de också två olika resultat.
  
−
<div class="ovnC">
+
Gränsvärden av funktioner som går mot oändligheten (och därmed strikt talat inte existerar), men ändå skrivs med limessymbolen, kallar man <b><span style="color:red">oegentliga gränsvärden</span></b>.
−
==== <b><span style="color:#931136">Exempel 4</span></b> ====
+
  
−
Bestäm <math> \qquad \displaystyle \lim_{x \to 3}\, {x^2 - x - 6 \over x - 3} </math>
+
<div class="exempel">
 +
==== <b><span style="color:#931136">Exempel</span></b> ====
 +
<table>
 +
<tr>
 +
  <td>
  
−
<b>Lösning:</b>
+
<math> \qquad\qquad\qquad\qquad\qquad \displaystyle {\lim_{x \to 0}\,{1 \over x^2}}\,=\,+\,\infty </math>  
  
−
Insättningen av <math> \, x = 3 \, </math> i uttrycket ger det odefinierade uttrycket <math> \, \displaystyle{0 \over 0} </math>.
 
  
−
För att kunna se om man ev. kan förkorta uttrycket faktoriserar vi täljaren:
+
Grafen visar att funktionen <math> \displaystyle f(x) = {1 \over x^2} </math> går mot <math> +\,\infty </math> både
  
−
::<math> x^2 - x - 6 = 0 \, </math>
+
när <math> \, x \to 0 </math> från höger (<math> \, x > 0 </math>) och från vänster (<math> \, x < 0 </math>). Visserligen
  
−
<math>p</math>-<math> q</math>-formeln kan användas, men enligt [[1.2_Repetition_Faktorisering_%26_Vieta_från_Matte_2#Vietas_formler_-_samband_mellan_koefficienter_och_nollst.C3.A4llen|<b><span style="color:blue">Vieta</span></b>]] gäller för lösningarna <math> \, x_1\,</math> och <math> \, x_2 \, </math> (går snabbare) <span style="color:black">:</span>
+
är gränsvärdet entydigt, men det är oändligt och kallas därför <b><span style="color:red">oegentligt</span></b>. 
  
−
::<math> \begin{align} x_1  +  x_2 & = -(-1) = 1  \\
 
−
                      x_1 \cdot x_2 & = - 6
 
−
          \end{align}</math>
 
  
−
Två tal vars produkt är <math> \, -6 \, </math> är t.ex. <math> \, 3 \, </math> och <math> \, -2 </math>. Men även deras summa är <math> \, 1 </math>. Därför:
+
Däremot är <math> \displaystyle \lim_{x \to 2}\,{10 \over x - 2} </math> varken entydigt eller ändligt. Därför existerar det inte.
 +
</td>
 +
  <td><math> \qquad </math></td>
 +
  <td>[[Image: y = 1 genom x^2.jpg]]</td>
 +
</tr>
 +
</table>  
  
−
::<math> \begin{align} x_1 & = 3  \\
+
Att man använder det ovannämnda skrivsättet för ensidiga och oegentliga gränsvärden sker av praktiska skäl. Man ersätter pilarna som vi använde inledningsvis med att beskriva gränsprocessen med limessymbolen istället. Det är bekvämt att använda en enhetlig notation för att beskriva gränsprocesser. Är man medveten om att limes enligt den strikta definitionen inte existerar, är det o.k.
−
                      x_2 & = - 2
+
−
          \end{align}</math>
+
  
−
Täljarens faktorisering blir då:
+
OBS! Av skrivsättet för ensidiga och oegentliga gränsvärden följer fortfarande <b><span style="color:red">inte</span></b> att <math> \; \displaystyle {\lim_{x \to 2}\,{10 \over x - 2}} \; </math> eller <math> \; \displaystyle {\lim_{x \to 0}\,{1 \over x^2}} \; </math> <b><span style="color:red">existerar</span></b>.
−
 
+
−
::<math> x^2 - x - 6 = (x - 3) \cdot (x + 2) </math>
+
−
 
+
−
Nu kan vi förkorta uttrycket mot nämnaren och beräkna limes:
+
−
 
+
−
::<math> \lim_{x \to 3}\, {x^2 - x - 6 \over x - 3} \, = \, \lim_{x \to 3}\, {{\color{Red} {(x-3)}} \cdot (x + 2) \over {\color{Red} {(x-3)}}} \, = \, \lim_{x \to 3}\, (x + 2) \, = \, 3 + 2 \, = \, 5 </math>
+
 
</div>
 
</div>
  
  
−
<div class="ovnC">
 
−
==== <b><span style="color:#931136">Exempel 5</span></b> ====
 
−
 
−
Bestäm <math> \qquad \displaystyle \lim_{x \to \infty}\,\, {x^3\,-\,2 \over 2\,x^3\,+\,3\,x\,-\,4} </math>
 
−
 
−
<b>Lösning:</b>
 
−
 
−
För att förenkla uttrycket i limes divideras uttryckets täljare och nämnare med den högsta <math> \,x</math>-potensen, nämligen med <math> \,x^3 </math>:
 
−
 
−
::<math> \lim_{x \to \infty}\,\, {x^3\,-\,2 \over 2\,x^3\,+\,3\,x\,-\,4} \,=\, \lim_{x \to \infty}\,\, {x^3/x^3\,-\,2/x^3 \over 2\,x^3/x^3\,+\,3\,x/x^3\,-\,4/x^3} \,=\, \lim_{x \to \infty}\,\, {1\,-\,{\color{Red} {2/x^3}} \over 2\,+\,{\color{Blue} {3/x^2}}\,-\,{\color{ForestGreen} {4/x^3}}} </math>
 
−
 
−
 
−
För att förenkla sista uttrycket använder vi:
 
−
 
−
::<math> \lim_{x \to \infty}\, {\color{Red} {2 \over x^3}} \, = \, \lim_{x \to \infty}\, {\color{Blue} {3 \over x^2}} \, = \, \lim_{x \to \infty} \, {\color{ForestGreen} {4 \over x^3}} \, = \, 0 </math>
 
−
 
−
Insatt i det sista uttrycket blir det:
 
−
 
−
::<math> \lim_{x \to \infty}\,\, {x^3\,-\,2 \over 2\,x^3\,+\,3\,x\,-\,4} \,=\quad \cdots \quad = \, \lim_{x \to \infty}\,\, {1\,-\,{\color{Red} {2/x^3}} \over 2\,+\,{\color{Blue} {3/x^2}}\,-\,{\color{ForestGreen} {4/x^3}}} \,=\, {1\,-\,{\color{Red} 0} \over 2\,+\,{\color{Blue} 0}\,-\,{\color{ForestGreen} 0}} \,=\, {1 \over 2} </math>
 
 
</div>
 
</div>
  
  
−
<div class="ovnA">
 
−
==== <b><span style="color:#931136">Exempel 6</span></b> ====
 
  
−
Funktionen <math> \; f(x) = x^2 \; </math> är given. &nbsp; Bestäm gränsvärdet <math> \quad \displaystyle \lim_{h \to 0}\,\,{f(2+h) - f(2) \over h} \; </math>.
 
−
 
−
<b>Lösning:</b>
 
−
 
−
::<math> f(2+h) \, = \, (2+h)\,^2 \, = \, {\color{Red} {4 + 4\,h + h\,^2}} </math>
 
−
 
−
::<math> f(2) \, = \, 2\,^2  \, = \, {\color{Blue} 4} </math>
 
−
 
−
::<math> \lim_{h \to 0}\,\,{f(2+h) - f(2) \over h} \, = \, \lim_{h \to 0} {{\color{Red} {4 + 4\,h + h\,^2}}\,\,-\,\,{\color{Blue} 4} \over h} = \lim_{h \to 0} {4\,h + h^2 \over h} = </math>
 
−
 
−
::<math> = \lim_{h \to 0} {{\color{Red} h}\,(4 + h) \over {\color{Red} h}} = \lim_{h \to 0} \, (4 + h) =  4 </math>
 
−
</div>
 
−
 
−
 
−
<div class="ovnA">
 
−
==== <b><span style="color:#931136">Exempel 7</span></b> ====
 
−
 
−
Funktionen <math> \; f(x) = x^2 \; </math> är given. &nbsp; Bestäm gränsvärdet <math> \quad \displaystyle \lim_{h \to 0}\,\,{f(x+h) - f(x) \over h} \; </math>.
 
−
 
−
<b>Lösning:</b>
 
−
 
−
Eftersom uttrycket i limes involverar två variabler <math> \, x \, </math> och <math> \, h \, </math> kommer limes inte längre vara ett tal utan ett uttryck i <math> \, x </math>.
 
−
 
−
<math> \displaystyle \lim_{\color{Red} {h \to 0}} \, </math> innebär att gränsvärdet ska bildas för <math> \, {\color{Red} {h \to 0}} </math>. Därför borde <math> \, x\, </math> under gränsprocessen anses som en konstant.
 
−
 
−
::<math> {\color{Red} {f(x+h)}} \, = \, (x+h)^2 \, = \, {\color{Red} {x^2 + 2\,x\,h + h^2}} </math>
 
−
 
−
::<math> {\color{Blue} {f(x)}} \, = \, {\color{Blue} {x\,^2}} </math>
 
−
 
−
::<math> \lim_{h \to 0}\,\,{{\color{Red} {f(x+h)}} - {\color{Blue} {f(x)}} \over h} \, = \, \lim_{h \to 0} {{\color{Red} {x^2 + 2\,x\,h + h^2}} \, - \, {\color{Blue} {x\,^2}} \over h} \, = \, \lim_{h \to 0} {2\,x\,h + h^2 \over h} = </math>
 
−
 
−
::<math> = \lim_{h \to 0} {{\color{Red} h}\,(2\,x + h) \over {\color{Red} h}} = \lim_{h \to 0} \, (2\,x + h) =  \boxed{2\,x} </math>
 
−
 
−
Observera att <b><span style="color:#931136">Exempel 6</span></b> ovan är ett specialfall av detta exempel för <math> x = 2 \, </math>.
 
−
 
−
Jämför även med förra avsnittets [[2.2_Genomsnittlig_förändringshastighet#Exempel_2_Kvadratisk_funktion|<b><span style="color:blue">Exempel 2 Kvadratisk funktion</span></b>]]<span style="color:black">:</span>
 
−
 
−
<math> y \, = \, \boxed{2\,x} \, </math> är derivatan av <math> \, y \, = \, x^2 \, </math>, se [[2.4_Derivatans_definition#Derivatan_som_en_ny_funktion|<b><span style="color:blue">derivatan som en ny funktion</span></b>]].
 
−
</div>
 
  
  
Rad 289: Rad 158:
  
  
−
 
+
[[Matte:Copyrights|Copyright]] © 2011-2016 Taifun Alishenas. All Rights Reserved.
−
 
+
−
 
+
−
[[Matte:Copyrights|Copyright]] © 2011-2017 Taifun Alishenas. All Rights Reserved.
+

Versionen från 21 oktober 2017 kl. 11.27

        <<  Förra avsnitt          Genomgång          Övningar          Fördjupning          Nästa avsnitt  >>      


Lektion 14 Gränsvärde


Existens av gränsvärden

Inledningsvis bestämdes i detta avsnitt gränsvärdet av \( \, \displaystyle \lim_{x \to \infty}\,{10 \over x\,-\,2} \, \) till \( \, 0 \, \) utan att fråga om den överhuvudtaget existerade. Själva bestämmandet av gränsvärdet \( \, 0 \, \) bevisade ju existensen. Men det finns faktiskt fall där ett gränsvärde inte existerar och därför inte heller kan bestämmas.

Som exempel tar vi samma funktion som i det inledande exemplet, men byter frågeställningen:

Exempel på att gränsvärde saknas

Funktionen \( y = f(x) = \displaystyle {10 \over x\,-\,2} \) är given: \( \qquad\qquad\qquad \) Vad händer med \( \, y \, \) när \( \; x \to 2 \; \)?

Dvs bestäm \( \qquad\quad \displaystyle \lim_{\color{Red} {x \to 2}}\,{10 \over x\,-\,2} \)

Svar: \( \quad\;\; f(x)\, \) är inte definierad för \( x = 2\, \).

\( \qquad\qquad\qquad\qquad\quad \Downarrow \)

\( \displaystyle \lim_{\color{Red} {x \to 2}}\,{10 \over x\,-\,2} \quad \) existerar inte   :


\( \qquad \) Gränsvärde saknas.

\( \qquad \) Ex 2 Gransvarde.jpg

Grafen visar att kurvan skjuter upp i höjden å ena sidan och ner i "djupet" å andra sidan av punkten \( \, x = 2 \).

Algebraiskt är \( \, f(x)\, \) inte definierad för \( x = 2\, \), för \( \displaystyle{10 \over x\,-\,2} \):s nämnare blir \( \, 0\, \) för \( \, x = 2 \).

Dessutom finns det två olika resultat beroende på om \( \, x \) går mot \( \, 2 \) från höger eller från vänster:

\( f(x)\, \) går mot \( +\, \infty \) när man närmar sig \( \, x = 2 \) från höger och mot \( -\, \infty \) när man närmar sig \( \, x = 2 \) från vänster. Med pilar:

\( y \;\; {\rm går\;mot} \, +\infty \; {\rm när} \; x \; {\rm går\;mot} \, 2 \;{\rm från\;höger:} \; \qquad\quad y \to +\infty \quad {\rm när} \quad x \to 2^+ \)

\( y \;\; {\rm går\;mot} \, -\infty \; {\rm när} \; x \; {\rm går\;mot} \, 2 \;{\rm från\;vänster:} \; \qquad\; y \to -\infty \quad {\rm när} \quad x \to 2^- \)

där \( x \to 2^+ \) betyder att närma sig \( \, x = 2 \) från höger (\( \, x > 2 \)) och \( x \to 2^- \) att närma sig \( \, x = 2 \) från vänster (\( \, x < 2 \)).


Följande modifierad variant av Exempel 2 (\( \, {\color{Red} {x \to 0}} \, \) istället för \( \, x \to \infty \)) visar samma sak:


Exempel 2 a

Bestäm \( \qquad \displaystyle \lim_{x \to 0}\, {4\,x\,+\,5 \over x} \)

Lösning:

\[ \lim_{x \to 0^+}\, {4\,x\,+\,5 \over x} \, = \, \lim_{x \to 0^+}\, \left(4 \,+\, {5 \over x}\right) \,= \, +\infty \]
\[ \lim_{x \to 0^-}\, {4\,x\,+\,5 \over x} \, = \, \lim_{x \to 0^-}\, \left(4 \,+\, {5 \over x}\right) \,= \, -\infty \]

där \( x \to 0^+ \) betyder att närma sig \( \, x = 0 \) från höger (\( \, x > 0 \)) och \( x \to 0^- \) att närma sig \( \, x = 0 \) från vänster (\( \, x < 0 \)).

Anmärkning: Sättet att skriva limes som ovan förklaras nedan i Ensidiga och oegentliga gränsvärden.

Svar: \( \qquad\;\; \) Gränsvärde saknas.


Men även om en funktion skulle gå mot t.ex. mot \( +\,\infty \), för ett visst \( \, x \) både från höger och vänster, t.ex. \( \displaystyle {f(x) = {1 \over x^2}} \) för \( \, x = 0 \), skulle det strikt matematiskt inte vara korrekt att säga att limes existerar och är \( +\,\infty \), därför att \( \infty \) inte är något värde. Med andra ord:


Ett gränsvärde måste, för att existera, vara både entydigt och ändligt.


Därför är det matematiskt korrekt att säga: Gränsvärdena \( \; \displaystyle {\lim_{x \to 2}\,{10 \over x - 2}} \; \) och \( \; \displaystyle {\lim_{x \to 0}\,{1 \over x^2}} \;\) existerar inte.


Ensidiga och oegentliga gränsvärden

Skiljer man närmandet från höger till \( \, x = 2 \, \) från närmandet från vänster kan man bilda s.k. ensidiga gränsvärden:

\[ \lim_{x \to 2^{+}}\,{10 \over x - 2}\,=\,+\,\infty \qquad\quad \; {\rm och} \; \qquad\quad \lim_{x \to 2^{-}}\,{10 \over x - 2}\,=\,-\,\infty \]

där \( x \to 2^+ \) betyder att närma sig \( \, x = 2 \) från höger (\( \, x > 2 \)) och \( x \to 2^- \) att närma sig \( \, x = 2 \) från vänster (\( \, x < 2 \)).

Man pratar om höger- och vänstergränsvärdet genom att skilja mellan de två sätten att närma sig talet \( \, 2 \) på \( \, x\)-axeln: från höger \( x \to 2^+ \) och från vänster \( x \to 2^- \), därav beteckningen ensidig. I vårt exempel ger de också två olika resultat.

Gränsvärden av funktioner som går mot oändligheten (och därmed strikt talat inte existerar), men ändå skrivs med limessymbolen, kallar man oegentliga gränsvärden.

Exempel

\( \qquad\qquad\qquad\qquad\qquad \displaystyle {\lim_{x \to 0}\,{1 \over x^2}}\,=\,+\,\infty \)


Grafen visar att funktionen \( \displaystyle f(x) = {1 \over x^2} \) går mot \( +\,\infty \) både

när \( \, x \to 0 \) från höger (\( \, x > 0 \)) och från vänster (\( \, x < 0 \)). Visserligen

är gränsvärdet entydigt, men det är oändligt och kallas därför oegentligt.


Däremot är \( \displaystyle \lim_{x \to 2}\,{10 \over x - 2} \) varken entydigt eller ändligt. Därför existerar det inte.

\( \qquad \) Y = 1 genom x^2.jpg

Att man använder det ovannämnda skrivsättet för ensidiga och oegentliga gränsvärden sker av praktiska skäl. Man ersätter pilarna som vi använde inledningsvis med att beskriva gränsprocessen med limessymbolen istället. Det är bekvämt att använda en enhetlig notation för att beskriva gränsprocesser. Är man medveten om att limes enligt den strikta definitionen inte existerar, är det o.k.

OBS! Av skrivsättet för ensidiga och oegentliga gränsvärden följer fortfarande inte att \( \; \displaystyle {\lim_{x \to 2}\,{10 \over x - 2}} \; \) eller \( \; \displaystyle {\lim_{x \to 0}\,{1 \over x^2}} \; \) existerar.




Internetlänkar

https://www.youtube.com/watch?v=_oPD-c8IAzs

https://www.youtube.com/watch?v=StP64lMXZjA

https://www.youtube.com/watch?v=fPOX0QX8AH0 </big>




Copyright © 2011-2016 Taifun Alishenas. All Rights Reserved.

Hämtad från "https://matte3c.mathonline.se/index.php?title=2.3_Fördjupning_till_Gränsvärde&oldid=34585"