Skillnad mellan versioner av "1.3 Repetition: Tal i bråkform"

Versionen från 25 oktober 2017 kl. 13.56

Repetition: Tal i bråkform

Tal i bråkform är ett repeterande underavsnitt i avsnittet Rationella uttryck.

Matte 1:

Förkortning av bråk

Förkorta bråken så långt som möjligt:

\( \qquad\quad \displaystyle \frac{2}{4} \quad = \quad \frac{2 \, \color{Red} {/ \, 2}}{4 \, \color{Red} {/ \, 2}} \quad = \quad \frac{1}{2} \)

\( \qquad\quad \displaystyle \frac{6}{9} \quad = \quad \frac{6 \, \color{Red} {/ \, 3}}{9 \, \color{Red} {/ \, 3}} \quad = \quad \frac{2}{3} \)

\( \qquad\quad \displaystyle \frac{10}{15} \quad = \quad \frac{10 \, \color{Red} {/ \, 5}}{15 \, \color{Red} {/ \, 5}} \quad = \quad \frac{2}{3} \)

\( \qquad\quad \displaystyle \frac{8}{24} \quad = \quad \frac{8 \, \color{Red} {/ \, 8}}{24 \, \color{Red} {/ \, 8}} \quad = \quad \frac{1}{3} \)

Metoden:

Hitta ett tal som både täljaren och nämnaren kan

jämnt delas med.

Dividera både täljaren och nämnaren med detta tal.

För att hitta talet läs Delbarhetsreglerna.

Förlängning av bråk

Förläng bråken:

1) \( \;\; \displaystyle \frac{3}{4} \; = \; \frac{3 {\color{Red} { \, \cdot \, 3}}}{4 {\color{Red} { \, \cdot \, 3}}} \; = \; \frac{9}{12} \)

2) \( \;\; \displaystyle \frac{2}{3} \; = \; \frac{2 {\color{Red} { \, \cdot \, 4}}}{3 {\color{Red} { \, \cdot \, 4}}} \; = \; \frac{8}{12} \)

3) \( \;\; \displaystyle \frac{3}{4} \; = \; \frac{3 {\color{Red} { \, \cdot \, 5}}}{4 {\color{Red} { \, \cdot \, 5}}} \; = \; \frac{15}{20} \; = \; \frac{15 {\color{Red} { \, \cdot \, 5}}}{20 {\color{Red} { \, \cdot \, 5}}} \; = \; \frac{75}{100} \)

4) \( \;\; \displaystyle {1 \over 8} \; = \; \frac{1 {\color{Red} { \, \cdot \, 5}}}{8 {\color{Red} { \, \cdot \, 5}}} \; = \; {5 \over 40} \; = \; \frac{5 {\color{Red} { \, \cdot \, 5}}}{40 {\color{Red} { \, \cdot \, 5}}} \; = \; {25 \over 200} \; = \)

\( \qquad\;\;\; \displaystyle = \; \frac{25 {\color{Red} { \, \cdot \, 5}}}{200 {\color{Red} { \, \cdot \, 5}}} \; = \; {125 \over 1\,000} \)

Metoden:

Multiplicera täljaren och nämnaren med samma tal

tills du får önskad nämnare.

Varför förlängning?

Jämförelse av bråk:

Exemplen 1) och 2) visar att bråken genom förläng-

ning kan få samma nämnare, vilket gör att man kan

jämföra dem med varandra: \( \qquad\quad \displaystyle \frac{9}{12} \, > \, \frac{8}{12} \)

och därmed avgöra: \( \qquad\qquad\qquad\; \displaystyle \frac{3}{4} \, > \, \frac{2}{3} \)

Räkna med bråk:

Genom förlängning till gemensam nämnare kan

bråk med olika nämnare adderas och subtraheras.

Omvandling till decimaltal:

Exemplen 3) och 4) visar att bråken genom förläng-

ning kan få en \( \, 10\)-potens i nämnaren, vilket gör

att man direkt kan skriva dem till decimaltal.

Kom ihåg:

Både förkortning och förlängning bibehåller

bråkets värde.

Addition och subtraktion av bråk

Fall 1 Lika nämnare

\( \quad \displaystyle \frac{1}{\color{Red} 5} \; + \; \frac{3}{\color{Red} 5} \; = \; \frac{4}{\color{Red} 5} \)

\( \quad \displaystyle \frac{11}{\color{Red} {12}} \; - \; \frac{5}{\color{Red} {12}} \; = \; \frac{6}{\color{Red} {12}} \; = \; \frac{6 \, / \, 6}{\color{Red} {12} \, / \, 6} \; = \; \frac{1}{2} \)

\( \quad \displaystyle \frac{5}{\color{Red} {11}} + \frac{13}{\color{Red} {11}} - \frac{9}{\color{Red} {11}} = \frac{5+13-9}{\color{Red} {11}} = \frac{9}{\color{Red} {11}} \quad \)

Regeln för add./subtr. av bråk med lika nämnare:

Bibehåll och ta över den gemensamma

nämnaren. Addera/subtrahera täljarna.

Fall 2 Olika nämnare

\( \quad \displaystyle \frac{1}{2} \; + \; \frac{1}{3} \; = \; \frac{1 \cdot {\color{Limegreen} 3}}{2 \cdot {\color{Limegreen} 3}} \; + \; \frac{1 \cdot {\color{Limegreen} 2}}{3 \cdot {\color{Limegreen} 2}} \; = \; \)

\( \qquad\qquad\;\; \displaystyle \; = \; \frac{3}{\color{Red} 6} \; + \; \frac{2}{\color{Red} 6} \; = \; \frac{5}{\color{Red} 6} \)

\( \quad \displaystyle \frac{2}{3} \; + \; \frac{1}{5} \; = \; \frac{2 \cdot {\color{Limegreen} 5}}{3 \cdot {\color{Limegreen} 5}} \; + \; \frac{1 \cdot {\color{Limegreen} 3}}{5 \cdot {\color{Limegreen} 3}} \; = \; \)

\( \qquad\qquad\;\; \displaystyle \; = \; \frac{10}{\color{Red} {15}} \; + \; \frac{3}{\color{Red} {15}} \; = \; \frac{13}{\color{Red} {15}} \)

\( \quad \displaystyle \frac{7}{4} \; - \; \frac{5}{3} \; = \; \frac{7 \cdot {\color{Limegreen} 3}}{4 \cdot {\color{Limegreen} 3}} \; - \; \frac{5 \cdot {\color{Limegreen} 4}}{3 \cdot {\color{Limegreen} 4}} \; = \; \)

\( \qquad\qquad\;\; \displaystyle \; = \; \frac{21}{\color{Red} {12}} \; - \; \frac{20}{\color{Red} {12}} \; = \; \frac{1}{\color{Red} {12}} \quad \)

Regeln för add./subtr. av bråk med olika nämnare:

Förläng bråken så att de får en gemen-

sam nämnare (oftast nämnarnas produkt).

Använd sedan regeln för add./subtr. av

bråk med lika nämnare (Fall 1).

med lika nämnare.

Multiplikation av bråk

\( \quad \displaystyle \frac{1}{2} \; \cdot \; \frac{3}{4} \; = \; \frac{1 \cdot 3}{2 \cdot 4} \; = \; \frac{3}{8}\)

\( \quad \displaystyle \frac{2}{3} \; \cdot \; \frac{4}{7} \; = \; \frac{2 \cdot 4}{3 \cdot 7} \; = \; \frac{8}{21} \)

\( \quad \displaystyle \frac{3}{4} \; \cdot \; \frac{2}{3} \; = \; \frac{3 \cdot 2}{4 \cdot 3} \; = \; \frac{6}{12} \; = \; \frac{6 \, / \, 6}{12 \, / \, 6} \; = \; \frac{1}{2} \)

Regeln för multiplikation av bråk:

Multiplicera:	täljarna	med	varandra,
	nämnarna	med	varandra.

Allmän regel för redovisning av bråkuppgifter:

Förkorta dina svar så långt som möjligt.

Division av bråk

\( \quad \displaystyle \frac{1}{2} \; \Big/ \; \frac{3}{4} \; = \; \frac{1}{2} \; {\color{Red} {\cdot \; \frac{4}{3}}} \; = \; \frac{1 \cdot 4}{2 \cdot 3} \; = \; \frac{4}{6} \; = \; \)

\( \qquad\qquad\; \displaystyle \; = \; \frac{4 \, / \, 2}{6 \, / \, 2} \; = \; \frac{2}{3} \)

\( \quad \displaystyle \frac{2}{3} \; \Big/ \; \frac{5}{7} \; = \; \frac{2}{3} \; {\color{Red} {\cdot \; \frac{7}{5}}} \; = \; \frac{2 \cdot 7}{3 \cdot 5} \; = \; \frac{14}{15} \)

\( \quad \displaystyle \frac{4}{7} \; \Big/ \; \frac{3}{5} \; = \; \frac{4}{7} \; {\color{Red} {\cdot \; \frac{5}{3}}} \; = \; \frac{4 \cdot 5}{7 \cdot 3} \; = \; \frac{20}{21} \)

Regeln för division av bråk:

Ersätt \( / \) med \( {\color{Red} {\cdot}} \) och invertera det bråk som

man skulle dividera med (dvs det andra).

Använd regeln för multiplikation av bråk.

Att invertera t.ex. \( \, \displaystyle \frac{3}{4} \, \) ger \( \, \displaystyle {\color{Red} {\frac{4}{3}}} \; \).

Dubbelbråk

\( \;\; \displaystyle \frac{\frac{{\color{Red} 2}}{{\color{Limegreen} 5}}}{\frac{{\color{Limegreen} 4}}{{\color{Red} 9}}} \) \( \displaystyle \; = \; \frac{{\color{Red} 2} \cdot {\color{Red} 9}}{{\color{Limegreen} 5} \cdot {\color{Limegreen} 4}} \; = \; \frac{\cancel{2} \cdot 9}{5 \cdot 2 \cdot \cancel{2}} \; = \; \frac{9}{5 \cdot 2} \; = \; \frac{9}{10} \)

\( \;\; \) Förkorta även på vägen till svaret om möjligt.

Regeln för dubbelbråk:

Ta de "yttersta" (\( \, {\color{Red} 2} \, \) och \( \, {\color{Red} 9} \, \)) till täljaren.

Ta de "innersta" (\( \, {\color{Limegreen} 5} \, \) och \( \, {\color{Limegreen} 4} \, \)) till nämnaren.

Heltal som bråk

\( \qquad \displaystyle 9 \; = \; \frac{9}{1} \qquad \)

Generellt:

Alla heltal kan skrivas i bråkform

genom att ge dem nämnaren \( \, {\color{Red} 1} \, \).

Bråk gånger heltal

\( \displaystyle \frac{2}{3} \cdot 9 \; = \; \frac{2}{3} \cdot \frac{9}{1} \; = \; \frac{2 \cdot 9}{3 \cdot 1} \; = \; \frac{2 \cdot 3 \cdot \cancel{3}}{\cancel{3}} \; = \; 6 \)

Snabbare:

\( \displaystyle \frac{2}{3} \cdot 9 \; = \; \frac{2 \cdot 9}{3} \; = \; \frac{18}{3} \; = \; 6 \)

\( \displaystyle 2 \cdot \frac{5}{7} \; = \; \frac{2 \cdot 5}{7} \; = \; \frac{10}{7} \)

Regel för multiplikation av bråk med heltal:

Ta täljaren \( \times \) heltalet, bibehåll nämnaren.

@@ Rad 13: / Rad 13: @@
 <big>Matte 1:</big>
 == <b><span style="color:#931136">Förkortning av bråk</span></b> ==
 <br><div class="ovnC">
 <big>Förkorta bråken så långt som möjligt:</big>
-<math> \quad \displaystyle \frac{2}{4} \; = \; \frac{1 \cdot 2}{2 \cdot 2} \; = \; \frac{1 \cdot \cancel{\color{Red} 2}}{2 \cdot \cancel{\color{Red} 2}}  \; = \; \frac{1}{2} </math>
+<math> \qquad\quad \displaystyle \frac{2}{4} \quad = \quad \frac{2 \, \color{Red} {/ \, 2}}{4 \, \color{Red} {/ \, 2}} \quad = \quad \frac{1}{2} </math>
-<math> \quad \displaystyle \frac{6}{9} \; = \; \frac{2 \cdot 3}{3 \cdot 3} \; = \; \frac{2 \cdot \cancel{\color{Red} 3}}{3 \cdot \cancel{\color{Red} 3}}  \; = \; \frac{2}{3} </math>
+<math> \qquad\quad \displaystyle \frac{6}{9} \quad = \quad \frac{6 \, \color{Red} {/ \, 3}}{9 \, \color{Red} {/ \, 3}} \quad = \quad \frac{2}{3} </math>
-<math> \quad \displaystyle \frac{8}{24} \; = \; \frac{\cancel{\color{Red} 2} \cdot 4}{\cancel{\color{Red} 2} \cdot 12} \, = \, \frac{\cancel{\color{Red} 2} \cdot 2}{\cancel{\color{Red} 2} \cdot 6} \, = \, \frac{\cancel{\color{Red} 2} \cdot 1}{\cancel{\color{Red} 2} \cdot 3} \, = \, \frac{1}{3} </math>
+<math> \qquad\quad \displaystyle \frac{10}{15} \quad = \quad \frac{10 \, \color{Red} {/ \, 5}}{15 \, \color{Red} {/ \, 5}} \quad = \quad \frac{2}{3} </math>
+<math> \qquad\quad \displaystyle \frac{8}{24} \quad = \quad \frac{8 \, \color{Red} {/ \, 8}}{24 \, \color{Red} {/ \, 8}} \quad = \quad \frac{1}{3} </math>
 <b>Metoden:</b>
-Hitta en gemensam [[1.2_Repetition:_Faktorisering_och_Vietas_formler#Faktorisering_av_tal|<b><span style="color:red">faktor</span></b>]] hos täljaren och nämna-
+Hitta ett tal som både täljaren och nämnaren kan
-ren. <b><span style="color:red">Dividera</span></b> både täljaren och nämnaren med
+jämnt delas med.
-samma gemensamma faktor.
+<b><span style="color:red">Dividera</span></b> både täljaren och nämnaren med detta tal.
+För att hitta talet läs [[1.5_Delbarhet,_primtal_och_faktorisering|<b><span style="color:blue">Delbarhetsreglerna</span></b>]].
 </div>
@@ Rad 38: / Rad 43: @@
 <big>Förläng bråken:</big>
-<math> \;\; \displaystyle \frac{3}{4} \; = \; \frac{3 \cdot {\color{Red} 3}}{4 \cdot {\color{Red} 3}}  \; = \; \frac{9}{12} </math>
+<b>1)</b> <math> \;\; \displaystyle \frac{3}{4} \; = \; \frac{3 {\color{Red} { \, \cdot \, 3}}}{4 {\color{Red} { \, \cdot \, 3}}}  \; = \; \frac{9}{12} </math>
+<b>2)</b> <math> \;\; \displaystyle \frac{2}{3} \; = \; \frac{2 {\color{Red} { \, \cdot \, 4}}}{3 {\color{Red} { \, \cdot \, 4}}}  \; = \; \frac{8}{12} </math>
+<b>3)</b> <math> \;\; \displaystyle \frac{3}{4} \; = \; \frac{3 {\color{Red} { \, \cdot \, 5}}}{4 {\color{Red} { \, \cdot \, 5}}} \; = \; \frac{15}{20} \; = \; \frac{15 {\color{Red} { \, \cdot \, 5}}}{20 {\color{Red} { \, \cdot \, 5}}} \; = \; \frac{75}{100} </math>
+<b>4)</b> <math> \;\; \displaystyle {1 \over 8} \; = \; \frac{1 {\color{Red} { \, \cdot \, 5}}}{8 {\color{Red} { \, \cdot \, 5}}} \; = \; {5 \over 40} \; = \; \frac{5 {\color{Red} { \, \cdot \, 5}}}{40 {\color{Red} { \, \cdot \, 5}}} \; = \; {25 \over 200} \; = </math>
-<math> \;\; \displaystyle \frac{2}{3} \; = \; \frac{2 \cdot {\color{Red} 4}}{3 \cdot {\color{Red} 4}}  \; = \; \frac{8}{12} </math>
+<math> \qquad\;\;\; \displaystyle = \; \frac{25 {\color{Red} { \, \cdot \, 5}}}{200 {\color{Red} { \, \cdot \, 5}}} \; = \; {125 \over 1\,000} </math>
 <b>Metoden:</b>
-<b><span style="color:red">Multiplicera</span></b> täljaren och nämnaren med samma tal.
+<b><span style="color:red">Multiplicera</span></b> täljaren och nämnaren med samma tal
-<b>Varför förlängning?</b>
+tills du får önskad nämnare.
+</div>
+== <b><span style="color:#931136">Varför förlängning?</span></b> ==
+<br>
+<div class="ovnA">
+<b><span style="color:#931136">Jämförelse av bråk:</span></b>
+Exemplen <b>1)</b> och <b>2)</b> visar att bråken genom förläng-
+ning kan få samma nämnare, vilket gör att man kan
+jämföra dem med varandra<span style="color:black">:</span> <math> \qquad\quad \displaystyle \frac{9}{12} \, > \, \frac{8}{12} </math>
+och därmed avgöra<span style="color:black">:</span> <math> \qquad\qquad\qquad\; \displaystyle \frac{3}{4} \, > \, \frac{2}{3} </math>
+<b><span style="color:#931136">Räkna med bråk:</span></b>
+Genom förlängning till gemensam nämnare kan
+bråk med olika nämnare adderas och subtraheras.
-Exemplen ovan visar att bråken genom förlängning
+<b><span style="color:#931136">Omvandling till decimaltal:</span></b>
-kan få samma nämnare, vilket gör att man t.ex. kan
+Exemplen <b>3)</b> och <b>4)</b> visar att bråken genom förläng-
-[[1.3_Repetition:_Tal_i_bråkform#Addition_och_subtraktion_av_br.C3.A5k|<b><span style="color:blue">addera</span></b>]] dem med och [[1.3_Repetition:_Tal_i_bråkform#Addition_och_subtraktion_av_br.C3.A5k|<b><span style="color:blue">subtrahera</span></b>]] dem från varandra.
+ning kan få en <math> \, 10</math>-potens i nämnaren, vilket gör
-Dessutom kan man jämföra dem med varandra.
+att man direkt kan skriva dem till decimaltal.
 </div>
 <big>
-<b><span style="color:#931136">Slutsats:</span></b>
+<b><span style="color:#931136">Kom ihåg:</span></b>
 <div class="border-divblue">
 Både förkortning och förlängning bibehåller
@@ Rad 74: / Rad 106: @@
 <math> \quad \displaystyle \frac{1}{\color{Red} 5} \; + \; \frac{3}{\color{Red} 5} \; = \; \frac{4}{\color{Red} 5} </math>
-<math> \quad \displaystyle \frac{11}{\color{Red} {12}} \; - \; \frac{5}{\color{Red} {12}} \; = \; \frac{6}{\color{Red} {12}} \; = \; \frac{1 \cdot \cancel{6}}{2 \cdot \cancel{6}} \; = \; \frac{1}{2} </math>
+<math> \quad \displaystyle \frac{11}{\color{Red} {12}} \; - \; \frac{5}{\color{Red} {12}} \; = \; \frac{6}{\color{Red} {12}} \; = \; \frac{6 \, / \, 6}{\color{Red} {12} \, / \, 6} \; = \; \frac{1}{2} </math>
 <math> \quad \displaystyle \frac{5}{\color{Red} {11}} + \frac{13}{\color{Red} {11}} - \frac{9}{\color{Red} {11}} = \frac{5+13-9}{\color{Red} {11}} = \frac{9}{\color{Red} {11}} \quad </math>
@@ Rad 114: / Rad 146: @@
 <b><span style="color:red">sam nämnare</span></b> (oftast nämnarnas produkt).
-Använd <b><span style="color:#931136">regeln för add./subtr. av bråk</span></b>
+Använd sedan <b><span style="color:#931136">regeln för add./subtr. av</span></b>
+<b><span style="color:#931136">bråk med <span style="color:red">lika</span> nämnare (Fall 1)</span></b>.
 <b><span style="color:#931136">med <span style="color:red">lika</span> nämnare</span></b>.
@@ Rad 128: / Rad 162: @@
 <math> \quad \displaystyle \frac{2}{3} \; \cdot \; \frac{4}{7} \; = \; \frac{2 \cdot 4}{3 \cdot 7} \; = \; \frac{8}{21} </math>
-<math> \quad \displaystyle \frac{3}{4} \; \cdot \; \frac{2}{3} \; = \; \frac{3 \cdot 2}{4 \cdot 3} \; = \; \frac{6}{12} \; = \; \frac{1 \cdot \cancel{6}}{2 \cdot \cancel{6}} \; = \; \frac{1}{2} </math>
+<math> \quad \displaystyle \frac{3}{4} \; \cdot \; \frac{2}{3} \; = \; \frac{3 \cdot 2}{4 \cdot 3} \; = \; \frac{6}{12} \; = \; \frac{6 \, / \, 6}{12 \, / \, 6} \; = \; \frac{1}{2} </math>
 </div>
@@ Rad 160: / Rad 194: @@
 <math> \quad \displaystyle \frac{1}{2} \; \Big/ \; \frac{3}{4} \; = \; \frac{1}{2} \; {\color{Red} {\cdot \; \frac{4}{3}}} \; = \; \frac{1 \cdot 4}{2 \cdot 3} \; = \; \frac{4}{6} \; = \; </math>
-<math> \qquad\qquad\; \displaystyle \; = \; \frac{\cancel{2} \cdot 2}{\cancel{2} \cdot 3} \; = \; \frac{2}{3} </math>
+<math> \qquad\qquad\; \displaystyle \; = \; \frac{4 \, / \, 2}{6 \, / \, 2} \; = \; \frac{2}{3} </math>
 <math> \quad \displaystyle \frac{2}{3} \; \Big/ \; \frac{5}{7} \; = \; \frac{2}{3} \; {\color{Red} {\cdot \; \frac{7}{5}}} \; = \; \frac{2 \cdot 7}{3 \cdot 5} \; = \; \frac{14}{15} </math>
@@ Rad 180: / Rad 214: @@
 Att <b><span style="color:red">invertera</span></b> t.ex. <math> \, \displaystyle \frac{3}{4} \, </math> ger <math> \, \displaystyle {\color{Red} {\frac{4}{3}}} \; </math>.
+</div>
+</big>
+== <b><span style="color:#931136">Dubbelbråk</span></b> ==
+<br>
+<div class="ovnA">
+<big><big><math> \;\; \displaystyle \frac{\frac{{\color{Red} 2}}{{\color{Limegreen} 5}}}{\frac{{\color{Limegreen} 4}}{{\color{Red} 9}}} </math></big></big> <math> \displaystyle \; = \; \frac{{\color{Red} 2} \cdot {\color{Red} 9}}{{\color{Limegreen} 5} \cdot {\color{Limegreen} 4}} \; = \; \frac{\cancel{2} \cdot 9}{5 \cdot 2 \cdot \cancel{2}} \; = \; \frac{9}{5 \cdot 2} \; = \; \frac{9}{10} </math>
+<math> \;\; </math> Förkorta även på vägen till svaret om möjligt.
+</div>
+<big>
+<b><span style="color:#931136">Regeln för dubbelbråk:</span></b>
+<div class="border-divblue">
+Ta de "yttersta" (<math> \, {\color{Red} 2} \, </math> och <math> \, {\color{Red} 9} \, </math>) till täljaren.
+Ta de "innersta" (<math> \, {\color{Limegreen} 5} \, </math> och <math> \, {\color{Limegreen} 4} \, </math>) till nämnaren.
+</div>
+</big>
+== <b><span style="color:#931136">Heltal som bråk</span></b> ==
+<br>
+<div class="ovnE">
+<big><math> \qquad \displaystyle  9 \; = \; \frac{9}{1} \qquad </math></big>
+</div>
+<big>
+<b><span style="color:#931136">Generellt:</span></b>
+<div class="border-divblue">
+Alla heltal kan skrivas i bråkform
+genom att ge dem nämnaren <big><math> \, {\color{Red} 1} \, </math></big>.
 </div>
 </big>
@@ Rad 200: / Rad 270: @@
 <big>
-<b><span style="color:#931136">Regel:</span></b>
+<b><span style="color:#931136">Regel för multiplikation av bråk med heltal:</span></b>
 <div class="border-divblue">
 Ta täljaren <math> \times </math> heltalet, bibehåll nämnaren.
 </div>
 </big>