Skillnad mellan versioner av "3.5 Övningar till Extremvärdesproblem"
Taifun (Diskussion | bidrag) m |
Taifun (Diskussion | bidrag) m |
||
| Rad 125: | Rad 125: | ||
stängslets mått för att få den störst möjliga arean <math> \, A \, </math> för sina får? | stängslets mått för att få den störst möjliga arean <math> \, A \, </math> för sina får? | ||
| + | |||
a) Skriv <math> \, A \, </math> som en funktion av <math> \, x </math>, problemets målfunktion <math> \, A(x) \, </math>. | a) Skriv <math> \, A \, </math> som en funktion av <math> \, x </math>, problemets målfunktion <math> \, A(x) \, </math>. | ||
Nuvarande version från 24 januari 2019 kl. 10.52
| << Förra avsnitt | Genomgång | Övningar | Diagnosprov kap 3 Anv. av deriv. | Lösningar till diagnosprov kap 3 |
E-övningar: 1-5
Övning 1
I figuren till höger rör sig punkten \( \, P \, \) på den räta linje vars ekvation är:
Vilken position av \( \, P \, (x, \, y) \, \) ger maximal area till den skuggade rektangeln? a) Vad är problemets bivillkor? b) Ställ upp problemets målfunktion som en funktion av endast en variabel. c) Bestäm koordinaterna till \( \, P \, \) så att rektangelns area blir maximal. d) Beräkna rektangelns maximala area. |
|
Hämtar...
Övning 2
| En rektangel har omkretsen \( \, 12 \, {\rm cm} \, \). Maximera rektangelns area.
a) Formulera problemets bivillkor. b) Ange problemets målfunktion. c) Bestäm sidorna \( \, x \, \) och \( \, y \, \) så att rektangelns area blir maximal. d) Vad blir rektangelns maximala area? |
|
Övning 3
| En rektangels area är \( \, 25 \, {\rm cm}^2 \, \). Minimera rektangelns omkrets.
a) Formulera problemets bivillkor. b) Ange problemets målfunktion. c) Bestäm sidorna \( \, x \, \) och \( \, y \, \) så att rektangelns omkrets blir minimal. d) Vad blir rektangelns minimala omkrets? |
|
Övning 4
| En rätvinklig triangel är inbunden i en parabel enligt figuren:
Parabeln är definierad genom:
Punkten \( \, P\,(x,\,y) \, \) rör sig på parabeln. Vilken position av \( \, P \, \) ger triangeln största möjliga arean \( \, A \, \)? a) Ange problemets bivillkor. b) Ställ upp problemets målfunktion som en funktion \( \, A(x) \, \). c) Bestäm koordinaterna till \( \, P \, \) så att triangelns area blir maximal. d) Beräkna triangelns maximala area. |
|
Övning 5
| En fårherde vill samla sina får vid en mur i ett rektangulärt stängsel.
Hon/han avgränsar stängslet med ett rep och pinnar i marken enligt figuren. Repet är \( \, 9 \; {\rm m} \, \) långt (rött). Beteckna rektangelns kortare sida med \( \, x \). Hur ska fårherden välja stängslets mått för att få den störst möjliga arean \( \, A \, \) för sina får?
b) Ange målfunktionens definitionsmängd. c) Bestäm \( \, x \, \) så att stängslets area blir maximal. d) Beräkna stängslets maximala area. e) Har problemet ett bivillkor? Om ja, ange det. |
|
C-övningar: 6-7
Övning 6
| Du ska bygga en öppen låda av en kvadratisk kartong på \( \, 10 \times 10 \; {\rm dm} \, \).
Det gör du genom att skära ut små kvadrater av längden \( \, x \, \) från karton- gens fyra hörn enligt figuren. Hur ska du välja \( \, x \, \) för att få den största möjliga volymen \( \, V \, \) för din öppna låda? a) Inför en ny beteckning och ange problemets bivillkor, se Lösning 5 e). b) Ställ upp problemets målfunktion \( \, V(x) \, \). c) Ange målfunktionens definitionsmängd. d) Bestäm \( \, x \, \) så att lådans volym \( \, V(x) \, \) blir maximal. e) Beräkna lådans maximala volym. f) Vilka mått har lådan med maximal volym? Ange dina svar med två decimaler. |
|
Övning 7
SJ har \( \, 20\,000 \, \) passagerare per månad på en viss bansträcka med ett biljettpris på \( \, 200 \, \) kr.
En marknadsundersökning visar att varje höjning av biljettpriset med \( \, 1 \, \) kr skulle medföra
en förlust av \( \, 80 \, \) passagerare per månad.
Vilken biljettprishöjning kommer att maximera intäkten per månad?
a) Ange problemets bivillkor om
\( \qquad\;\; x \, = \, \) Den planerade prishöjningen i kr.
\( \qquad\;\; y \, = \, \) Antalet passagerare per månad efter prishöjningen \( \, x \, \).
b) Ställ upp problemets målfunktion \( \, I(x) \, \) för SJ:s intäkt per månad.
c) Bestäm \( \, x \, \) så att intäkten \( \, I(x) \, \) blir så stor som möjligt.
d) Beräkna den maximala intäkten efter en biljettprishöjning på \( \, x \, \) kr.
e) För vilka prishöjningar kommer det inte längre att löna sig att höja biljettpriset?
A-övningar: 8-9
Övning 8
En cylinder är placerad inuti en kon enligt figuren. Kons mått är givna:
Vilka mått på cylindern maximerar dess volym \( \, V \, \)? a) Formulera problemets bivillkor. Använd den röda triangeln i figuren. b) Ställ upp problemets målfunktion \( \, V(r) \, \) där \( r = \) cylinderns radie. c) Bestäm cylinderns radie \( \, r \, \) och höjd \( \, h \, \) så att volymen blir maximal. d) Beräkna cylinderns maximala volym. e) Vilket förhållande råder mellan cylinderns radie \( \, r \, \) och dess höjd \( \, h \, \)
|
|
Övning 9
| För att producera en cylinderformad konservburk har man en viss mängd \( \, A \, \)
plåt till förfogande (efter spill). Dvs cylinderns begränsningsarea \( \, = \, A \; {\rm cm}^2 \, \). I genomgången, Exempel 3 Konservburk, löstes denna uppgift för \( \, A = 500 \). Här ska du lösa den generellt för en given konstant \( \, A \, \). Vilka mått på konserven maximerar volymen? a) Formulera problemets bivillkor. b) Ställ upp problemets målfunktion. c) Bestäm cylinderns radie så att burkens volym blir maximal. d) Bestäm cylinderns höjd när burkens volym maximeras och visa:
|
|
- \[ 2 \; r \; = \; h \]
Copyright © 2011-2016 Math Online Sweden AB. All Rights Reserved.
