Skillnad mellan versioner av "1.4 Övningar till Talet e och den naturliga logaritmen"

Versionen från 20 mars 2011 kl. 11.48

G-övningar: 1-6

Övning 1

Beräkna på två olika sätt, först utan och sedan med logaritmlagar. Avrunda till 4 decimaler. Jamför och tolka resultaten\[ \,\log \]-knappen i räknaren står för 10-logaritmen. Slå in t.ex. \( \log\,(3) \) för att beräkna \( \lg\,3 \) .

a) \( \lg\,(3 \cdot 4) \)

b) \( \lg\,{1 \over 2} \)

c) \( \lg\,(5^2) \)

d) \( \lg\,{7 \over 2} + \lg\,(9^{1\over2}) \)

Svar 1a

Lösning 1a

Svar 1b

Lösning 1b

Svar 1c

Lösning 1c

Svar 1d

Lösning 1d

Övning 2

Fyll i först de platser som är markerade med frågetecken.

Beräkna sedan uttrycken till vänster och höger om likhetstecknet. Ange svaret med 5 decimaler.

a) \( \lg 36 \; = \; \lg 4 + \lg \, ? \)

b) \( \lg 4 \; = \; \lg 8 - \lg \, ? \)

c) \( \lg\,9 \; = \; ? \; \cdot\; \lg 3 \)

d) \( \lg 1 + \lg 10 \; = \; \lg \, ? \)

e) \( \lg 16 - \lg 4 \; = \; \lg \, ? \)

f) \( 3 \cdot \lg 2 \; = \; \lg \, ? \)

Svar 2a

Lösning 2a

Svar 2b

Lösning 2b

Svar 2c

Lösning 2c

Svar 2d

Lösning 2d

Svar 2e

Lösning 2e

Svar 2f

Lösning 2f

Övning 3

Lös följande ekvationer med 6 decimalers noggrannhet. Hur skulle du svara om det hade varit krav på exakt lösning?

a) \( 2^x = 35\, \)

b) \( 5 \cdot 1,09^x = 25 \)

c) \( 4^x + 4^{x+1} = 85\, \)

Övning 4

Är följande förenklingar korrekta? Om inte, korrigera dem:

a) \( \lg 54 - \lg 38 = {\lg 54 \over \lg 38 } \)

b) \( \lg\,(3\,x^5) = 5 \cdot \lg 3\,x \)

c) \( \lg\,{3 \over 2} + \lg\,{2 \over 3} = 0 \)

d) \( \lg\,0,2 = \lg\,2 - 1 \)

VG-övningar: 5-6

Övning 5

Lös följande ekvationer exakt:

a) \( 5 \cdot 6^x \; = \; 7^x \)

b) \( 2 \cdot 3^x \; = \; 4 \cdot 5^x \)

c) \( \lg\,(x+1) + \lg\,(x-1) = \lg 3 - \lg 4 \)

Övning 6

En ny bil köptes för 325 000 kr. Värdeminskningen är exponentiell och uppskattas till 17% per år.

a) Ställ upp en exponentialfunktion som en modell för bilens värdeminskning där y är bilens aktuella värde och x antalet år efter inköpet.

Använd modellen för att besvara följande frågor:

b) Hur mycket var bilen värd efter 2 år?

c) Efter hur många år och månader är bilens värde 100 000?

MVG-övningar: 7-8

Övning 7

Landet A hade år 1990 42,5 miljoner invånare med en tillväxttakt på 2,8% per år.

Landet B hade samma år 63,7 miljoner invånare med en tillväxttakt på 0,3% per år.

Man antar att befolkningstillväxten i dessa länder är exponentiell.

Hur lång tid tar det tills båda länderna har lika många invånare? Ange svaret i antal år och avrundat antal månader.

Övning 8

Mellan energin E som frigjörs vid en jordbävning och dess magnitud M på Richterskalan gäller följande samband:

\[ M \; = \; {2 \over 3}\,\left(\lg\,E - {22 \over 5}\right) \]

I mars 2011 drabbades Japan av en jordbävning med magnituden M = 9,1 på Richterskalan.

Beräkna den frigjorda energin E.

Kalle hävdar att denna energimängd är av samma storleksordning som hela Sverige förbrukar på ett år.

Frivillig: Sök på Internet efter information om Sveriges energiförbrukning för att kontrollera om Kalles påstående stämmer.

@@ Rad 12: / Rad 12: @@
 == Övning 1 ==
 <div class="ovning">
-Förenkla nedanstående uttryck så långt som möjligt bl.a. med hjälp av potenslagarna
+Beräkna på två olika sätt, först utan och sedan med logaritmlagar. Avrunda till 4 decimaler. Jamför och tolka resultaten:
-a) <math> x^4 \cdot x^{-2} / x </math>
+<math> \,\log </math>-knappen i räknaren står för 10-logaritmen. Slå in t.ex. <math> \log\,(3) </math> för att beräkna <math> \lg\,3 </math> .
+a) <math> \lg\,(3 \cdot 4) </math>
-b) <math> {2\,x^{-5} \over 3\,x^{-8}} \cdot (2\,x)^{-1} </math>
+b) <math> \lg\,{1 \over 2} </math>
-c) <math> (25\,x^2)^{1/2} </math>
+c) <math> \lg\,(5^2) </math>
-d) <math> (x^{-2})^6 \cdot \sqrt{y} \over y^{0,5} \cdot (x^{-4})^3\, </math>
+d) <math> \lg\,{7 \over 2} + \lg\,(9^{1\over2}) </math>
-</div>{{#NAVCONTENT:Svar 1a|1.5 Svar 1a|Lösning 1a|1.5 Lösning 1a|Svar 1b|1.5 Svar 1b|Lösning 1b|1.5 Lösning 1b|Svar 1c|1.5 Svar 1c|Lösning 1c|1.5 Lösning 1c|Svar 1d|1.5 Svar 1d|Lösning 1d|1.5 Lösning 1d}}
+</div>{{#NAVCONTENT:Svar 1a|1.7 Svar 1a|Lösning 1a|1.7 Lösning 1a|Svar 1b|1.7 Svar 1b|Lösning 1b|1.7 Lösning 1b|Svar 1c|1.7 Svar 1c|Lösning 1c|1.7 Lösning 1c|Svar 1d|1.7 Svar 1d|Lösning 1d|1.7 Lösning 1d}}
 == Övning 2 ==
 <div class="ovning">
-Svara med SANT eller FALSKT på följande frågor och motivera ditt svar:
+Fyll i först de platser som är markerade med frågetecken.
+Beräkna sedan uttrycken till vänster och höger om likhetstecknet. Ange svaret med 5 decimaler.
-a) Gäller <math> (a+b)^2 = a^2 + b^2\, </math>? T.ex. stämmer det att <math> (3+4)^2 = 3^2 + 4^2\, </math>?
+a) <math> \lg 36 \; = \; \lg 4 + \lg \, ? </math>
-b) Gäller <math> (a-b)^2 = a^2 - b^2\, </math>? T.ex. stämmer det att <math> (5-4)^2 = 5^2 - 4^2\, </math>?
+b) <math> \lg 4 \; = \; \lg 8 - \lg \, ? </math>
-c) Gäller <math> \sqrt{a^2+b^2} = a + b </math>? T.ex. stämmer det att <math> \sqrt{5^2+4^2} = 5 + 4 </math>?
+c) <math> \lg\,9 \; = \; ? \; \cdot\; \lg 3  </math>
-d) Gäller <math> \sqrt{a^2 \cdot b^2} = a \cdot b </math>? T.ex. stämmer det att <math> \sqrt{9 \cdot 4} = 3 \cdot 2 </math>?
+d) <math> \lg 1 + \lg 10 \; = \; \lg \, ? </math>
-e) Gäller <math> \sqrt{a + b} = \sqrt{a} + \sqrt{b} </math>? T.ex. stämmer det att <math> \sqrt{4 + 36} = 2 + 6 </math>?
+e) <math> \lg 16 - \lg 4 \; = \; \lg \, ? </math>
-f) Gäller <math> x^3 \cdot y^2 = (x \cdot y)^5 </math>? T.ex. stämmer det att <math> 2^3 \cdot 5^2 = (2 \cdot 5)^5 </math>?
+f) <math> 3 \cdot \lg 2 \; = \; \lg \, ? </math>
-</div>{{#NAVCONTENT:Svar 2a|1.5 Svar 2a|Lösning 2a|1.5 Lösning 2a|Svar 2b|1.5 Svar 2b|Lösning 2b|1.5 Lösning 2b|Svar 2c|1.5 Svar 2c|Lösning 2c|1.5 Lösning 2c|Svar 2d|1.5 Svar 2d|Lösning 2d|1.5 Lösning 2d|Svar 2e|1.5 Svar 2e|Lösning 2e|1.5 Lösning 2e|Svar 2f|1.5 Svar 2f|Lösning 2f|1.5 Lösning 2f}}
+</div>{{#NAVCONTENT:Svar 2a|1.7 Svar 2a|Lösning 2a|1.7 Lösning 2a|Svar 2b|1.7 Svar 2b|Lösning 2b|1.7 Lösning 2b|Svar 2c|1.7 Svar 2c|Lösning 2c|1.7 Lösning 2c|Svar 2d|1.7 Svar 2d|Lösning 2d|1.7 Lösning 2d|Svar 2e|1.7 Svar 2e|Lösning 2e|1.7 Lösning 2e|Svar 2f|1.7 Svar 2f|Lösning 2f|1.7 Lösning 2f}}
 == Övning 3 ==
 <div class="ovning">
-Skriv om följande uttryck till en potens <math> a^x\, </math> av en enda bas. Avgör först vilken bas <math> a\, </math> som kan vara lämplig:
+Lös följande ekvationer med 6 decimalers noggrannhet. Hur skulle du svara om det hade varit krav på <u>exakt</u> lösning?
-a) <math> 8^2 \cdot 4^3 </math>
+a) <math> 2^x = 35\, </math>
-b) <math> 3^{-2} \cdot 9^2 \over 27 </math>
+b) <math> 5 \cdot 1,09^x = 25 </math>
-c) <math> x^{-5} \cdot x^9 \over (x^{-9})^{1/3} </math>
+c) <math> 4^x + 4^{x+1} = 85\, </math>
-</div>{{#NAVCONTENT:Svar 3a|1.5 Svar 3a|Lösning 3a|1.5 Lösning 3a|Svar 3b|1.5 Svar 3b|Lösning 3b|1.5 Lösning 3b|Svar 3c|1.5 Svar 3c|Lösning 3c|1.5 Lösning 3c}}
+<!-- </div>{{#NAVCONTENT:Svar 3a|1.7 Svar 3a|Lösning 3a|1.7 Lösning 3a|Svar 3b|1.7 Svar 3b|Lösning 3b|1.7 Lösning 3b|Svar 3c|1.7 Svar 3c|Lösning 3c|1.7 Lösning 3c}} -->
 == Övning 4 ==
 <div class="ovning">
-Förenkla följande uttryck så långt som möjligt:
+Är följande förenklingar korrekta? Om inte, korrigera dem:
-a) <math> \left({1 \over 3}\right)^{-3}\, </math>
+a) <math> \lg 54 - \lg 38 = {\lg 54 \over \lg 38 } </math>
-b) <math> \sqrt{{4^{40} \over 4} \; / \; 4^{38}} </math>
+b) <math> \lg\,(3\,x^5) = 5 \cdot \lg 3\,x </math>
-c) <math> {9\,^{z+1} \cdot 81\,^{3\,z/4} \over 27\,^{5\,z/3}} </math> (Tips: Skriv om alla baser till en enda bas.)
+c) <math> \lg\,{3 \over 2} + \lg\,{2 \over 3} = 0 </math>
-d) <math> (6^x + 6^x + 6^x)^2 \; / \; 9</math>
+d) <math> \lg\,0,2 = \lg\,2 - 1 </math>
+<!-- </div>{{#NAVCONTENT:Svar 4a|1.7 Svar 4a|Lösning 4a|1.7 Lösning 4a|Svar 4b|1.7 Svar 4b|Lösning 4b|1.7 Lösning 4b|Svar 4c|1.7 Svar 4c|Lösning 4c|1.7 Lösning 4c|Svar 4d|1.7 Svar 4d|Lösning 4d|1.7 Lösning 4d}} -->
-</div>{{#NAVCONTENT:Svar 4a|1.5 Svar 4a|Lösning 4a|1.5 Lösning 4a|Svar 4b|1.5 Svar 4b|Lösning 4b|1.5 Lösning 4b|Svar 4c|1.5 Svar 4c|Lösning 4c|1.5 Lösning 4c|Svar 4d|1.5 Svar 4d|Lösning 4d|1.5 Lösning 4d}}
 == VG-övningar: 5-6 ==
@@ Rad 86: / Rad 90: @@
 == Övning 5 ==
 <div class="ovning">
-Lös följande ekvationer:
+Lös följande ekvationer exakt:
-a) <math> (3^x + 3^{x+1}) \,/\, 4\; = \; 9 </math>
+a) <math> 5 \cdot 6^x \; = \; 7^x </math>
-b) <math> (2^x + 2^{x-1}) \cdot {2 \over 3}\; = \; 32 </math>
+b) <math> 2 \cdot 3^x \; = \; 4 \cdot 5^x </math>
-c) <math> 8^{3\,x+1} - 8^{3\,x} = 448\, </math>
+c) <math> \lg\,(x+1) + \lg\,(x-1) = \lg 3 - \lg 4 </math>
-</div>{{#NAVCONTENT:Svar 5a|1.5 Svar 5a|Lösning 5a|1.5 Lösning 5a|Svar 5b|1.5 Svar 5b|Lösning 5b|1.5 Lösning 5b|Svar 5c|1.5 Svar 5c|Lösning 5c|1.5 Lösning 5c}}
+<!-- </div>{{#NAVCONTENT:Svar 5a|1.7 Svar 5a|Lösning 5a|1.7 Lösning 5a|Svar 5b|1.7 Svar 5b|Lösning 5b|1.7 Lösning 5b|Svar 5c|1.7 Svar 5c|Lösning 5c|1.7 Lösning 5c}} -->
 == Övning 6 ==
 <div class="ovning">
-Ett belopp på 5 000 kr sätts in på ett bankkonto med fast årsränta. Inga uttag görs. Efter 10 år har beloppet fördubblats.
+En ny bil köptes för 325 000 kr. Värdeminskningen är exponentiell och uppskattas till 17% per år.
-a) Ställ upp en potensekvation. Använd som obekant förändringsfaktorn för ett år och lös ekvationen. Vilken årsränta hade banken?
+a) Ställ upp en exponentialfunktion som en modell för bilens värdeminskning där y är bilens aktuella värde och x antalet år efter inköpet.
-b) Hur mycket pengar finns på kontot efter 20 år (efter insättningen) om inga uttag görs.
+Använd modellen för att besvara följande frågor:
-<!-- </div>{{#NAVCONTENT:Svar 6a|1.5 Svar 6a|Lösning 6a|1.5 Lösning 6a|Svar 6b|1.5 Svar 6b|Lösning 6b|1.5 Lösning 6b}} -->
+b) Hur mycket var bilen värd efter 2 år?
+c) Efter hur många år och månader är bilens värde 100 000?
+<!-- </div>{{#NAVCONTENT:Svar 6a|1.7 Svar 6a|Lösning 6a|1.7 Lösning 6a|Svar 6b|1.7 Svar 6b|Lösning 6b|1.7 Lösning 6b}} -->
 == MVG-övningar: 7-8 ==
@@ Rad 113: / Rad 121: @@
 == Övning 7 ==
 <div class="ovning">
-Övning 6 med en annan frågeställning: Ett belopp på 5 000 kr sätts in på ett bankkonto med 7% årsränta. Inga uttag görs. Hur länge tar det exakt tills beloppet fördubblats?
+Landet A hade år 1990 42,5 miljoner invånare med en tillväxttakt på 2,8% per år.
-a) Ställ upp en ekvation. Använd som obekant antal år som behövs för att startkapitalet fördubblats. Vilken typ av ekvation blir det?
+Landet B hade samma år 63,7 miljoner invånare med en tillväxttakt på 0,3% per år.
-b) Försök att lösa ekvationen exakt. Om du inte lyckas pröva dig fram med hjälp av räknaren till en approximativ lösning.
+Man antar att befolkningstillväxten i dessa länder är exponentiell.
-<!-- </div>{{#NAVCONTENT:Svar 7a|1.5 Svar 7a|Lösning 7a|1.5 Lösning 7a|Svar 7b|1.5 Svar 7b|Lösning 7b|1.5 Lösning 7b}} -->
+Hur lång tid tar det tills båda länderna har lika många invånare? Ange svaret i antal år och avrundat antal månader.
+<!-- </div>{{#NAVCONTENT:Svar 7a|1.7 Svar 7a|Lösning 7a|1.7 Lösning 7a|Svar 7b|1.7 Svar 7b|Lösning 7b|1.7 Lösning 7b}} -->
 == Övning 8 ==
 <div class="ovning">
-En termos fylls med hett kaffe. Temperaturen y avtar med tiden x enligt följande typ av funktion som kan anses vara en ansats till en matematisk modell för kaffets avsvalnande:
+Mellan energin E som frigjörs vid en jordbävning och dess magnitud M på Richterskalan gäller följande samband:
-:::::::::::<math> y = c \cdot a^x </math>
-där a och c är vissa konstanter som bestäms via experiment. Två experiment gav följande resultat:
+::::::<math> M \; = \; {2 \over 3}\,\left(\lg\,E - {22 \over 5}\right) </math>
-Efter 4 timmar var temperaturen 76 º C. Under denna tid minskade temperaturen med 4,1 º C per timme.
+I mars 2011 drabbades Japan av en jordbävning med magnituden M = 9,1 på Richterskalan.
-a) Vilken temperatur hade kaffet när det hälldes i termosen?
+Beräkna den frigjorda energin E.
-b) Bestäm konstanterna a och c i ansatsen ovan och ställ upp den fullständiga matematiska modell där temperaturen y är en exponentialfunktion av tiden x.
+Kalle hävdar att denna energimängd är av samma storleksordning som hela Sverige förbrukar på ett år.
-c) Använd modellen från b) för att besvara frågan: Hur lång tid tar det tills kaffets temperatur understiger 55 º C då det inte längre anses drickbart? Approximativ lösning räcker.
+Frivillig: Sök på Internet efter information om Sveriges energiförbrukning för att kontrollera om Kalles påstående stämmer.
-<!-- </div>{{#NAVCONTENT:Svar 8a|1.5 Svar 8a|Lösning 8a|1.5 Lösning 8a|Svar 8b|1.5 Svar 8b|Lösning 8b|1.5 Lösning 8b|Svar 8c|1.5 Svar 8c|Lösning 8c|1.5 Lösning 8c}} -->
+<!-- </div>{{#NAVCONTENT:Svar 8a|1.7 Svar 8a|Lösning 8a|1.7 Lösning 8a|Svar 8b|1.7 Svar 8b|Lösning 8b|1.7 Lösning 8b|Svar 8c|1.7 Svar 8c|Lösning 8c|1.7 Lösning 8c}} -->