Skillnad mellan versioner av "1.4 Övningar till Talet e och den naturliga logaritmen"

Versionen från 20 mars 2011 kl. 15.19

G-övningar: 1-6

Övning 1

Använd \( e^x\, \)-knappen i din räknare för att beräkna följande uttryck på det enklast möjliga sättet. Avrunda till 5 decimaler.

a) \( e\,^2 \cdot e\,^{0,5} \)

b) \( e\,^3 \over e\,^4 \)

c) \( (e\,^{1,5})^{-1} \)

d) \( e\,^{1 \over 3} - (e\,^2)^{1\over 3} \)

Svar 1a

Lösning 1a

Svar 1b

Lösning 1b

Svar 1c

Lösning 1c

Svar 1d

Lösning 1d

Övning 2

Beräkna följande funktioners värde för \( x = 2\, \). Ange svaret med 4 decimaler.

a) \( f(x) \; = \; e\,^{-2\,x} \)

b) \( f(x) \; = \; 3\,e\,^{0,1\,x} \)

c) \( f(x) \; = \; {1 \over 2}\,e\,^{1,5\,x} \)

d) \( f(x) \; = \; -4\,e\,^{x \over 3} \)

e) \( f(x) \; = \; {e\,^x + e\,^{-\,x} \over 2} \)

f) \( f(x) \; = \; {e\,^x - e\,^{-\,x} \over 2} \)

Svar 2a

Lösning 2a

Svar 2b

Lösning 2b

Svar 2c

Lösning 2c

Svar 2d

Lösning 2d

Svar 2e

Lösning 2e

Svar 2f

Lösning 2f

Övning 3

Lös följande ekvationer med 6 decimalers noggrannhet. Hur skulle du svara om det hade varit krav på exakt lösning?

a) \( 2^x = 35\, \)

b) \( 5 \cdot 1,09^x = 25 \)

c) \( 4^x + 4^{x+1} = 85\, \)

Övning 4

Skriv följande likheter i logaritmform:

a) \( \lg 54 - \lg 38 = {\lg 54 \over \lg 38 } \)

b) \( \lg\,(3\,x^5) = 5 \cdot \lg 3\,x \)

c) \( \lg\,{3 \over 2} + \lg\,{2 \over 3} = 0 \)

d) \( \lg\,0,2 = \lg\,2 - 1 \)

VG-övningar: 5-6

Övning 5

Lös följande ekvationer exakt:

a) \( 5 \cdot 6^x \; = \; 7^x \)

b) \( 2 \cdot 3^x \; = \; 4 \cdot 5^x \)

c) \( \lg\,(x+1) + \lg\,(x-1) = \lg 3 - \lg 4 \)

Övning 6

En ny bil köptes för 325 000 kr. Värdeminskningen är exponentiell och uppskattas till 17% per år.

a) Ställ upp en exponentialfunktion som en modell för bilens värdeminskning där y är bilens aktuella värde och x antalet år efter inköpet.

Använd modellen för att besvara följande frågor:

b) Hur mycket var bilen värd efter 2 år?

c) Efter hur många år och månader är bilens värde 100 000?

MVG-övningar: 7-8

Övning 7

Landet A hade år 1990 42,5 miljoner invånare med en tillväxttakt på 2,8% per år.

Landet B hade samma år 63,7 miljoner invånare med en tillväxttakt på 0,3% per år.

Man antar att befolkningstillväxten i dessa länder är exponentiell.

Hur lång tid tar det tills båda länderna har lika många invånare? Ange svaret i antal år och avrundat antal månader.

Övning 8

Mellan energin E som frigjörs vid en jordbävning och dess magnitud M på Richterskalan gäller följande samband:

\[ M \; = \; {2 \over 3}\,\left(\lg\,E - {22 \over 5}\right) \]

I mars 2011 drabbades Japan av en jordbävning med magnituden M = 9,1 på Richterskalan.

Beräkna den frigjorda energin E.

Kalle hävdar att denna energimängd är av samma storleksordning som hela Sverige förbrukar på ett år.

Frivillig: Sök på Internet efter information om Sveriges energiförbrukning för att kontrollera om Kalles påstående stämmer.

@@ Rad 29: / Rad 29: @@
 == Övning 2 ==
 <div class="ovning">
-Beräkna följande funktioners värde för <math>x=2\,</math>. Ange svaret med 4 decimaler.
+Beräkna följande funktioners värde för <math> x = 2\, </math>. Ange svaret med 4 decimaler.
-a) <math> y \; = \; e\,^{-2\,x} </math>
+a) <math> f(x) \; = \; e\,^{-2\,x} </math>
-b) <math> y \; = \; 3\,e\,^{0,1\,x} </math>
+b) <math> f(x) \; = \; 3\,e\,^{0,1\,x} </math>
-c) <math> y \; = \; {1 \over 2}\,e\,^{1,5\,x}  </math>
+c) <math> f(x) \; = \; {1 \over 2}\,e\,^{1,5\,x}  </math>
-d) <math> y \; = \; -4\,e\,^{x \over 3} </math>
+d) <math> f(x) \; = \; -4\,e\,^{x \over 3} </math>
-e) <math> \lg 16 - \lg 4 \; = \; \lg \, ? </math>
+e) <math> f(x) \; = \; {e\,^x + e\,^{-\,x} \over 2} </math>
-f) <math> 3 \cdot \lg 2 \; = \; \lg \, ? </math>
+f) <math> f(x) \; = \; {e\,^x - e\,^{-\,x} \over 2} </math>
 </div>{{#NAVCONTENT:Svar 2a|1.8 Svar 2a|Lösning 2a|1.8 Lösning 2a|Svar 2b|1.8 Svar 2b|Lösning 2b|1.8 Lösning 2b|Svar 2c|1.8 Svar 2c|Lösning 2c|1.8 Lösning 2c|Svar 2d|1.8 Svar 2d|Lösning 2d|1.8 Lösning 2d|Svar 2e|1.8 Svar 2e|Lösning 2e|1.8 Lösning 2e|Svar 2f|1.8 Svar 2f|Lösning 2f|1.8 Lösning 2f}}