Skillnad mellan versioner av "1.6 Lösning 7"

Versionen från 30 mars 2011 kl. 01.00

Saldot efter 2 år \( = 40\,000 \cdot (1,08)^2 = 46\,656 \)

Det andra belopp som sattes in \( = {3\over 5} \cdot 40\,000 = {3 \cdot 40\,000 \over 5} = 3 \cdot 8\,000 = 24\,000 \)

\[ x\, \] = Antal år efter den andra insättningen

\[ y\, \] = Aktuellt belopp på kontot

Modellen:

\[ y = (46\,656 + 24\,000) \cdot (1,08)^x \]

\[ y = 70\,656 \cdot (1,08)^x \]

Ekvationen:

\[ 100\,000 = 70\,656 \cdot (1,08)^x \]

Lösningen\[\begin{align} 70\,656 \cdot (1,08)^x & = 100\,000 & &\;| \; /\,70\,656 \\ (1,08)\,^x & = 1,4153 \quad & &: \;\text{Skriv 1,08 och 1,4153 som 10-potenser} \\ (10^{\lg(1,08)})\,^x & = 10^{\lg (1,4153)} \quad & &: \;\text{3:e potenslag i VL} \\ 10^{x \cdot \lg(1,08)} & = 10^{\lg (1,4153)} \\ \end{align}\]

När två potenser med samma bas är lika med varandra måste deras exponenter vara lika med varandra:

\[\begin{align} x \cdot \lg(1,08) & = \lg (1,4153) \\ x & = {\lg (1,4153) \over \lg(1,08)} \\ x & = 4,5133 \end{align}\]

För att omvandla decimaldelen av lösningen till månader måste den multipliceras med 12:

\[ 0,5133 \cdot 12 = 6,1594 \]

Detta blir avrundat \( 6\, \) månader. Därför\[ 4\, \] år och \( 6\, \) månader efter den andra insättningen kommer saldot blivit \( 100\,000 \) kr.

\( 6\, \) år och \( 6\, \) månader efter den första insättningen kommer saldot blivit \( 100\,000 \) kr.