|
|
| Rad 9: |
Rad 9: |
| | == Derivatan av en konstant == | | == Derivatan av en konstant == |
| | | | |
| − | Ett uttryck av formen <math> a^x\, </math> läses "a upphöjt till x" och kallas <span style="color:red">potens</span>. <math> a\, </math> heter <span style="color:red">basen</span> och <math> x\, </math> <span style="color:red">exponenten</span>.
| + | '''Påstående''': |
| | | | |
| − | Om <math> x\, </math> är ett positivt heltal och <math> a\, </math> ett tal <math> \neq 0 </math> kan potensen <math> a^x\, </math> definieras som en förkortning för <math>1 \cdot</math> <span style="color:red">upprepad multiplikation</span> av <math> a\, </math> med sig själv <math> x\, </math> gånger:
| |
| − | ::::<math> a^x = 1 \cdot \underbrace{a \cdot a \cdot a \cdot \quad \ \cdots \quad \cdot a}_{x\;\,\text{styck}} </math>
| |
| − | För negativa heltalexponenter kan potensen <math> a^{-x}\, </math> definieras som en förkortning för <math>1 /\,</math> <span style="color:red">upprepad division</span> av <math> a\, </math> med sig själv <math> x\, </math> gånger:
| |
| − | ::::<math> a^{-x} = 1 / \underbrace{a / a / a / \quad \ \cdots \quad / a}_{x\;\,\text{styck}} </math>
| |
| − | Uppfattar man a som ett bråk med nämnaren 1 dvs <math> {a \over 1} </math> och ersätter i uttrycket ovan divisionerna med a med multiplikationer med det omvända (inversa) bråket <math> {1 \over a} </math>, kan man skriva om uttrycket ovan så här:
| |
| − | ::::<math> a^{-x} = 1 \cdot \underbrace{{1 \over a} \cdot {1 \over a} \cdot {1 \over a} \cdot \quad \cdot \cdots \quad \cdot {1 \over a}}_{x\;\,\text{styck}} = {1 \over a^x} </math>
| |
| − | Vi får följande formel för potenser med negativa heltalexponenter:
| |
| − | ::::<math> a^{-x} = {1 \over a^x} </math>
| |
| − | Exempel på både positiva och negativa heltalsexponenter:
| |
| − | ::::<math> a^2 = a \cdot a </math>
| |
| | | | |
| − | ::::<math> a^3 = a \cdot a \cdot a </math>
| |
| | | | |
| − | ::::<math> a^{-2} = {1 \over a^2} = {1 \over a \cdot a} </math> | + | :::::<math> a^x \cdot a^y \; = \; a^{x+y} </math> |
| | | | |
| − | ::::<math> a^{-3} = {1 \over a^3} = {1 \over a \cdot a \cdot a} </math> | + | '''Bevis''': |
| | | | |
| − | ----
| + | Påståendet kan bevisas genom att använda potensens definition: |
| | | | |
| − | Själva aktionen <math> a^x\, </math> dvs att ta <math> a\, </math> upphöjt till <math> x\, </math> kallas <span style="color:red">exponentiering</span> och är en ny räkneoperation jämfört med de fyra räknesätten. När x är lika med 2 pratar man om <span style="color:red">kvadrering</span>.
| + | :::::<math> a^x \cdot a^y \; = \; \underbrace{a \cdot a \cdot \; \ \cdots \; \cdot a}_{x} \; \cdot \; \underbrace{a \cdot a \cdot \; \ \cdots \; \cdot a}_{y} \; = \; \underbrace{a \cdot a \cdot \; \ \cdots \; \cdot a}_{x+y} \; = \; a^{x+y} </math> |
| | | | |
| − | Anta i fortsättningen att <math> x\, </math> är en okänd variabel och <math> b\, </math> och <math> c\, </math> givna konstanter <math> \neq 0 </math> . Då kallas
| + | ---- |
| − | | + | |
| − | :::::::funktioner av typ <math> y = 10^x\, </math> <span style="color:red">exponentialfunktioner</span>, generellt: <math> y = c \cdot a^x\, </math>.
| + | |
| − | | + | |
| − | :::::::ekvationer av typ <math> 10^x\,= 125 </math> <span style="color:red">exponentialekvationer</span>, generellt: <math> a^x\, = b </math>.
| + | |
| − | | + | |
| − | :::::::funktioner av typ <math> y = x^3\, </math> <span style="color:red">potensfunktioner</span>, generellt: <math> y = c \cdot x^b\, </math>.
| + | |
| − | | + | |
| − | :::::::ekvationer av typ <math> x^3\, = 8 </math> <span style="color:red">potensekvationer</span>, generellt: <math> x^b\, = c </math>.
| + | |
| − | | + | |
| − | I exponentialfunktioner och -ekvationer förekommer x i exponenten. I potensfunktioner och -ekvationer förekommer x i basen. Medan exponentialekvationer löses genom <span style="color:red">logaritmering</span> (se avsnitt [[1.6 Logaritmer|1.6 Logaritmer]]), löses potensekvationer genom <span style="color:red">rotdragning</span>. För t.ex. potensekvationen <math> x^3\, = 8 </math> finns det två olika sätt att beskriva lösningen via rotdragning:
| + | |
| − | | + | |
| − | ::::::::::::<math>\begin{align} x^3 & = 8 \qquad & | \; \sqrt[3]{\;\;} \\
| + | |
| − | \sqrt[3]{x^3} & = \sqrt[3]{8} \\
| + | |
| − | x & = 2 \\
| + | |
| − | \end{align}</math>
| + | |
| − | Alternativt (med bråktal som exponent):
| + | |
| − | ::::::::::::<math>\begin{align} x^3 & = 8 \qquad & | \; (\;\;\;)^{1 \over 3} \; \text{samma som} \; \sqrt[3]{\;\;} \\
| + | |
| − | (x^3)^{1 \over 3} & = 8^{1 \over 3} \\
| + | |
| − | x^{3\cdot{1 \over 3}} & = 8^{1 \over 3} \\
| + | |
| − | x & = 2 \\
| + | |
| − | \end{align}</math>
| + | |
| | | | |
| − | Det alternativa sättet att lösa ekvationen <math> x^3 = 8\, </math> visar att rotdragning kan även uppfattas och skrivas som <span style="color:red">exponentiering med bråktalsexponenter</span>. För att förstå detta måste man känna till potenslagarna som behandlas nedan. Dessa gäller även för exponenter som är negativa eller bråktal, även om vi inledningsvis definierade potensbegreppet för enkelhets skull endast för positiva heltalsexponenter.
| |
| | | | |
| | == Derivatan av en linjär funktion == | | == Derivatan av en linjär funktion == |
Versionen från 8 maj 2011 kl. 07.43
Derivatan av en konstant
Påstående:
- \[ a^x \cdot a^y \; = \; a^{x+y} \]
Bevis:
Påståendet kan bevisas genom att använda potensens definition:
- \[ a^x \cdot a^y \; = \; \underbrace{a \cdot a \cdot \; \ \cdots \; \cdot a}_{x} \; \cdot \; \underbrace{a \cdot a \cdot \; \ \cdots \; \cdot a}_{y} \; = \; \underbrace{a \cdot a \cdot \; \ \cdots \; \cdot a}_{x+y} \; = \; a^{x+y} \]
Derivatan av en linjär funktion
Följande lagar gäller för potenser där basen \( a\, \) är ett tal \( \neq 0 \), exponenterna \( x\, \) och \( y\, \) vilka rationella tal som helst och \( m,\,n \) heltal (\( n\neq 0 \)), med exempel till höger:
Påstående (Produkt av potenser med samma bas):
- \[ a^x \cdot a^y \; = \; a^{x+y} \]
Bevis:
Påståendet kan bevisas genom att använda potensens definition:
- \[ a^x \cdot a^y \; = \; \underbrace{a \cdot a \cdot \; \ \cdots \; \cdot a}_{x} \; \cdot \; \underbrace{a \cdot a \cdot \; \ \cdots \; \cdot a}_{y} \; = \; \underbrace{a \cdot a \cdot \; \ \cdots \; \cdot a}_{x+y} \; = \; a^{x+y} \]
Påstående (Nollte potens):
- \[ a^0 \; = \; 1 \]
Bevis:
Påståendet kan bevisas genom att använda potenslagen för division av potenser med samma bas:
- \[ a^0 \; = \; a^{x-x} \; = \; {a^x \over a^x} \; = \; 1 \]
Påstående (Rationell exponent):
- \[ a^{m \over n} \; = \; \sqrt[n]{a^m} \]
Bevisidé:
Vi tar specialfallet \( m=1 \) och \( n=3 \), multiplicerar \( a^{1 \over 3} \) tre gånger med sig själv och använder potenslagen om produkt av potenser med samma bas:
- \[ a^{1 \over 3} \cdot a^{1 \over 3} \cdot a^{1 \over 3} \; = \; a^{{1 \over 3} + {1 \over 3} + {1 \over 3}} \; = \; a^{3 \over 3} \; = \; a^1 \; = \; a \]
Definitionen för 3:e roten ur a är\[\sqrt[3]{a} = \] Tal som 3 gånger med sig själv ger a. Men enligt raden ovan är det tal som 3 gånger med sig själv ger a, just \( a^{1 \over 3} \). Alltså måste detta tal vara lika med 3:e roten ur a:
- \[ a^{1 \over 3} \; = \; \sqrt[3]{a} \]
Denna bevisidé kan vidareutvecklas till det allmänna fallet för alla heltal \( m\, \) och \( n\neq 0 \).
Derivatan av en potens
a
Derivatan av 1 / x
a
Derivatan av Roten ur x
a
Deriveringstabell
Internetlänkar
http://www.matematikvideo.se/video.php?id=36
http://www.webbmatte.se/gym/arabiska/2/2_8_4sv.html
http://www.webbmatte.se/gym/arabiska/2/2_8_3sv.html
http://wiki.math.se/wikis/forberedandematte1/index.php/1.3_%C3%96vningar
Copyright © 2010-2011 Taifun Alishenas. All Rights Reserved.
