Skillnad mellan versioner av "2.5 Deriveringsregler"
Taifun (Diskussion | bidrag) m (→Derivatan av en konstant) |
Taifun (Diskussion | bidrag) m (→Derivatan av en konstant) |
||
| Rad 27: | Rad 27: | ||
| − | Detta gäller därför att både <math> f(x+h) = c\, </math> och <math> f(x) = c\, </math> för alla <math> x\, </math>, dvs funktionen <math> f(x)\, </math>:s värde är konstanten <math> c\, </math> oavsett vilket x man använder i <math> f(x)\, </math>. | + | Detta gäller därför att både <math> f(x+h) = c\, </math> och <math> f(x) = c\, </math> för alla <math> x\, </math>, dvs funktionen <math> f(x)\, </math>:s värde är konstanten <math> c\, </math> oavsett vilket x man använder i <math> f(x)\, </math>. Funktionsvärdet är konstant för vilket <math> x\, </math> som helst. |
Vad som skulle bevisas (V.s.b.). | Vad som skulle bevisas (V.s.b.). | ||
| Rad 35: | Rad 35: | ||
När funktionen är definierad som | När funktionen är definierad som | ||
| − | :<math> | + | :<math> f(x) = 4\, </math> |
| − | + | ||
blir derivatan: | blir derivatan: | ||
| − | + | ::<math> f\,'(x) = \lim_{h \to 0} \, {f(x+h) \, - \, f(x) \over h} = {4 \, - \, 4 \over h} = {0 \over h} = 0 </math> | |
| − | :<math> f( | + | |
+++ | +++ | ||
Versionen från 8 maj 2011 kl. 09.30
| Teori | Övningar |
Innehåll
Derivatan av en konstant
Påstående:
- En konstants derivata är 0, dvs:
- Om \( f(x) = c \quad {\rm och} \quad c = {\rm const.} \)
- då \( f\,'(x) = 0 \)
Bevis:
Om vi tillämpar derivatans definition
- \[ f\,'(x) = \lim_{h \to 0} \, {f(x+h) - f(x) \over h} \]
på \( f(x) = c\, \) kan vi skriva:
- \[ f\,'(x) = \lim_{h \to 0} \, {c \, - \, c \over h} \; = \; {0 \over h} \; = \; 0 \]
Detta gäller därför att både \( f(x+h) = c\, \) och \( f(x) = c\, \) för alla \( x\, \), dvs funktionen \( f(x)\, \):s värde är konstanten \( c\, \) oavsett vilket x man använder i \( f(x)\, \). Funktionsvärdet är konstant för vilket \( x\, \) som helst.
Vad som skulle bevisas (V.s.b.).
Exempel:
När funktionen är definierad som
\[ f(x) = 4\, \]
blir derivatan:
- \[ f\,'(x) = \lim_{h \to 0} \, {f(x+h) \, - \, f(x) \over h} = {4 \, - \, 4 \over h} = {0 \over h} = 0 \]
+++
Påstående:
- \[ a^x \cdot a^y \; = \; a^{x+y} \]
Bevis:
Påståendet kan bevisas genom att använda potensens definition:
- \[ a^x \cdot a^y \; = \; \underbrace{a \cdot a \cdot \; \ \cdots \; \cdot a}_{x} \; \cdot \; \underbrace{a \cdot a \cdot \; \ \cdots \; \cdot a}_{y} \; = \; \underbrace{a \cdot a \cdot \; \ \cdots \; \cdot a}_{x+y} \; = \; a^{x+y} \]
Derivatan av en linjär funktion
Följande lagar gäller för potenser där basen \( a\, \) är ett tal \( \neq 0 \), exponenterna \( x\, \) och \( y\, \) vilka rationella tal som helst och \( m,\,n \) heltal (\( n\neq 0 \)), med exempel till höger:
Påstående (Produkt av potenser med samma bas):
- \[ a^x \cdot a^y \; = \; a^{x+y} \]
Bevis:
Påståendet kan bevisas genom att använda potensens definition:
- \[ a^x \cdot a^y \; = \; \underbrace{a \cdot a \cdot \; \ \cdots \; \cdot a}_{x} \; \cdot \; \underbrace{a \cdot a \cdot \; \ \cdots \; \cdot a}_{y} \; = \; \underbrace{a \cdot a \cdot \; \ \cdots \; \cdot a}_{x+y} \; = \; a^{x+y} \]
Påstående (Nollte potens):
- \[ a^0 \; = \; 1 \]
Bevis:
Påståendet kan bevisas genom att använda potenslagen för division av potenser med samma bas:
- \[ a^0 \; = \; a^{x-x} \; = \; {a^x \over a^x} \; = \; 1 \]
Påstående (Rationell exponent):
- \[ a^{m \over n} \; = \; \sqrt[n]{a^m} \]
Bevisidé:
Vi tar specialfallet \( m=1 \) och \( n=3 \), multiplicerar \( a^{1 \over 3} \) tre gånger med sig själv och använder potenslagen om produkt av potenser med samma bas:
- \[ a^{1 \over 3} \cdot a^{1 \over 3} \cdot a^{1 \over 3} \; = \; a^{{1 \over 3} + {1 \over 3} + {1 \over 3}} \; = \; a^{3 \over 3} \; = \; a^1 \; = \; a \]
Definitionen för 3:e roten ur a är\[\sqrt[3]{a} = \] Tal som 3 gånger med sig själv ger a. Men enligt raden ovan är det tal som 3 gånger med sig själv ger a, just \( a^{1 \over 3} \). Alltså måste detta tal vara lika med 3:e roten ur a:
- \[ a^{1 \over 3} \; = \; \sqrt[3]{a} \]
Denna bevisidé kan vidareutvecklas till det allmänna fallet för alla heltal \( m\, \) och \( n\neq 0 \).
Derivatan av en potens
a
Derivatan av 1 / x
a
Derivatan av Roten ur x
a
Deriveringstabell
Internetlänkar
http://www.matematikvideo.se/video.php?id=36
http://www.webbmatte.se/gym/arabiska/2/2_8_4sv.html
http://www.webbmatte.se/gym/arabiska/2/2_8_3sv.html
http://wiki.math.se/wikis/forberedandematte1/index.php/1.3_%C3%96vningar
Copyright © 2010-2011 Taifun Alishenas. All Rights Reserved.
