Skillnad mellan versioner av "2.5 Deriveringsregler"

Versionen från 8 maj 2011 kl. 10.15

Innehåll

1 Derivatan av en konstant
2 Derivatan av en linjär funktion
3 Derivatan av en potens
4 Derivatan av ett polynom
5 Derivatan av 1 / x
6 Derivatan av Roten ur x
7 Deriveringstabell
8 Internetlänkar

I detta avsnitt kommer vi att gå igenom och bevisa en rad regler som ska hjälpa oss att derivera de viktigaste typer av funktioner som förekommer i tillämpningarna, utan att varje gång behöva använda derivatans definition direkt. I bevisen tillämpas derivatans definition en gång för alla på respektive funktionstyp. Sedan kan man använda de bevisna reglerna i fortsättningen. I slutet kommer vi att sammanställa alla deriveringsregler i en tabell. Ur praktisk problemlösningssynpunkt är därför det här avsnittet om inte det viktigaste, så dock det mest använda i hela C-kursen.

Derivatan av en konstant

Påstående:

En konstants derivata är 0, dvs:

Om \( f(x) = c \quad {\rm och} \quad c = {\rm const.} \)

då \( f\,'(x) = 0 \)

Bevis:

Om vi tillämpar derivatans definition

\[ f\,'(x) = \lim_{h \to 0} \, {f(x+h) - f(x) \over h} \]

på \( f(x) = c\, \) kan vi skriva:

\[ f\,'(x) = \lim_{h \to 0} \, {c \, - \, c \over h} \; = \; {0 \over h} \; = \; 0 \]

Detta gäller därför att både \( f(x+h) = c\, \) och \( f(x) = c\, \) för alla \( x\, \). Dvs funktionen \( f(x)\, \):s värde är alltid konstanten \( c\, \) oavsett vilket x man använder i \( f(x)\, \). Funktionsvärdet är \( c\, \) för vilket \( x\, \) som helst, även om \( x\, \) är ett uttryck.

Vad som skulle bevisas (V.s.b.).

Exempel:

För funktionen \( f(x) = 4\, \) blir derivatan:

\[ f\,'(x) = \lim_{h \to 0} \, {f(x+h) \, - \, f(x) \over h} = {4 \, - \, 4 \over h} = {0 \over h} = 0 \]

Derivatan av en linjär funktion

Påstående:

En konstants derivata är 0, dvs:

Om \( f(x) = c \quad {\rm och} \quad c = {\rm const.} \)

då \( f\,'(x) = 0 \)

Bevis:

Om vi tillämpar derivatans definition

\[ f\,'(x) = \lim_{h \to 0} \, {f(x+h) - f(x) \over h} \]

på \( f(x) = c\, \) kan vi skriva:

\[ f\,'(x) = \lim_{h \to 0} \, {c \, - \, c \over h} \; = \; {0 \over h} \; = \; 0 \]

Detta gäller därför att både \( f(x+h) = c\, \) och \( f(x) = c\, \) för alla \( x\, \). Dvs funktionen \( f(x)\, \):s värde är alltid konstanten \( c\, \) oavsett vilket x man använder i \( f(x)\, \). Funktionsvärdet är \( c\, \) för vilket \( x\, \) som helst, även om \( x\, \) är ett uttryck.

Vad som skulle bevisas (V.s.b.).

Exempel:

För funktionen \( f(x) = 4\, \) blir derivatan:

\[ f\,'(x) = \lim_{h \to 0} \, {f(x+h) \, - \, f(x) \over h} = {4 \, - \, 4 \over h} = {0 \over h} = 0 \]

Derivatan av en potens

a

Derivatan av ett polynom

a

Derivatan av 1 / x

a

Derivatan av Roten ur x

a

Deriveringstabell

Internetlänkar

http://www.matematikvideo.se/video.php?id=36

http://www.webbmatte.se/gym/arabiska/2/2_8_4sv.html

http://www.webbmatte.se/gym/arabiska/2/2_8_3sv.html

http://wiki.math.se/wikis/forberedandematte1/index.php/1.3_%C3%96vningar

@@ Rad 39: / Rad 39: @@
 ::::::<math> f\,'(x) = \lim_{h \to 0} \, {f(x+h) \, - \, f(x) \over h} = {4 \, - \, 4 \over h} = {0 \over h} = 0 </math>
-+++
-'''Påstående''':
-:::::<math> a^x \cdot a^y \; = \; a^{x+y} </math>
-'''Bevis''':
-Påståendet kan bevisas genom att använda potensens definition:
-:::::<math> a^x \cdot a^y \; = \; \underbrace{a \cdot a \cdot \; \ \cdots \; \cdot a}_{x} \; \cdot \; \underbrace{a \cdot a \cdot \; \ \cdots \; \cdot a}_{y} \; = \; \underbrace{a \cdot a \cdot \; \ \cdots \; \cdot a}_{x+y} \; = \; a^{x+y} </math>
-----
 == Derivatan av en linjär funktion ==
-Följande lagar gäller för potenser där basen <math> a\, </math> är ett tal <math> \neq 0 </math>, exponenterna <math> x\, </math> och <math> y\, </math> vilka rationella tal som helst och <math> m,\,n </math> heltal (<math> n\neq 0 </math>), med exempel till höger:
+'''Påstående''':<big>
+::::En konstants derivata är 0, dvs:
-'''Påstående (Produkt av potenser med samma bas)''':
+:::::::Om <math> f(x) = c \quad {\rm och} \quad c = {\rm const.} </math>
-:::::<math> a^x \cdot a^y \; = \; a^{x+y} </math>
+:::::::då <math> f\,'(x) = 0 </math>
+</big>
 '''Bevis''':
-Påståendet kan bevisas genom att använda potensens definition:
+Om vi tillämpar derivatans definition
-:::::<math> a^x \cdot a^y \; = \; \underbrace{a \cdot a \cdot \; \ \cdots \; \cdot a}_{x} \; \cdot \; \underbrace{a \cdot a \cdot \; \ \cdots \; \cdot a}_{y} \; = \; \underbrace{a \cdot a \cdot \; \ \cdots \; \cdot a}_{x+y} \; = \; a^{x+y} </math>
-----
-'''Påstående (Nollte potens)''':
-:::::<math> a^0 \; = \; 1 </math>
-'''Bevis''':
-Påståendet kan bevisas genom att använda potenslagen för division av potenser med samma bas:
-:::::<math> a^0 \; = \; a^{x-x} \; = \; {a^x \over a^x} \; = \; 1 </math>
-----
+:::::::::<math> f\,'(x) = \lim_{h \to 0} \, {f(x+h) - f(x) \over h} </math>
-'''Påstående (Rationell exponent)''':
+på <math> f(x) = c\, </math> kan vi skriva:
-:::::<math> a^{m \over n} \; = \; \sqrt[n]{a^m} </math>
+:::::::::<math> f\,'(x) = \lim_{h \to 0} \, {c \, - \, c \over h} \; = \; {0 \over h} \; = \; 0 </math>
-'''Bevisidé''':
-Vi tar specialfallet <math> m=1 </math> och <math> n=3 </math>, multiplicerar <math> a^{1 \over 3} </math> tre gånger med sig själv och använder potenslagen om produkt av potenser med samma bas:
+Detta gäller därför att både <math> f(x+h) = c\, </math> och <math> f(x) = c\, </math> för alla <math> x\, </math>. Dvs funktionen <math> f(x)\, </math>:s värde är alltid konstanten <math> c\, </math> oavsett vilket x man använder i <math> f(x)\, </math>. Funktionsvärdet är <math> c\, </math> för vilket <math> x\, </math> som helst, även om <math> x\, </math> är ett uttryck.
-:::::<math> a^{1 \over 3} \cdot a^{1 \over 3} \cdot a^{1 \over 3} \; = \; a^{{1 \over 3} + {1 \over 3} + {1 \over 3}} \; = \; a^{3 \over 3} \; = \; a^1 \; = \; a </math>
+Vad som skulle bevisas (V.s.b.).
-Definitionen för 3:e roten ur a är: <math>\sqrt[3]{a} = </math> Tal som 3 gånger med sig själv ger a. Men enligt raden ovan är det tal som 3 gånger med sig själv ger a, just <math> a^{1 \over 3} </math>. Alltså måste detta tal vara lika med 3:e roten ur a:
+'''Exempel''':
-:::::<math> a^{1 \over 3} \; = \; \sqrt[3]{a} </math>
+För funktionen <math> f(x) = 4\, </math> blir derivatan:
-Denna bevisidé kan vidareutvecklas till det allmänna fallet för alla heltal <math> m\, </math> och <math> n\neq 0 </math>.
+::::::<math> f\,'(x) = \lim_{h \to 0} \, {f(x+h) \, - \, f(x) \over h} = {4 \, - \, 4 \over h} = {0 \over h} = 0 </math>
 == Derivatan av en potens ==