Skillnad mellan versioner av "2.5 Deriveringsregler"
Taifun (Diskussion | bidrag) m (→Derivatan av en kvadratisk term) |
Taifun (Diskussion | bidrag) m (→Derivatan av en kvadratisk term) |
||
| Rad 83: | Rad 83: | ||
| − | ::<math> = \lim_{h \to 0} {h\,(2\,x + h) \over h} = \lim_{h \to 0} (2\,x + h) = 2\,x </math> | + | ::<math> = \lim_{h \to 0} {h\,(2\,x + h) \over h} = \lim_{h \to 0} \, (2\,x + h) = 2\,x </math> |
Versionen från 8 maj 2011 kl. 14.00
| Teori | Övningar |
Innehåll
I detta avsnitt kommer vi att gå igenom och bevisa en rad regler som ska hjälpa oss att derivera de viktigaste typer av funktioner som förekommer i tillämpningarna, utan att varje gång behöva använda derivatans definition direkt. I bevisen tillämpas derivatans definition en gång för alla på respektive funktionstyp. Sedan kan man använda de bevisna reglerna i fortsättningen. I slutet kommer vi att sammanställa alla deriveringsregler i en tabell. Ur praktisk problemlösningssynpunkt är därför det här avsnittet om inte det viktigaste, så dock det mest använda i hela C-kursen.
Derivatan av en konstant
Påstående:
- En konstants derivata är 0, dvs:
- Om \( f(x) = c \quad {\rm och} \quad c = {\rm const.} \)
- då \( f\,'(x) = 0 \)
Bevis:
Om vi tillämpar derivatans definition
- \[ f\,'(x) = \lim_{h \to 0} \, {f(x+h) - f(x) \over h} \]
på \( f(x) = c\, \) kan vi skriva:
- \[ f\,'(x) = \lim_{h \to 0} \, {c \, - \, c \over h} \; = \; {0 \over h} \; = \; 0 \]
Att \( f(x+h) = c\, \) inser man preciserar definitonen\[ f(x) = c\, \] för alla \( x\, \). Dvs funktionen \( f(x)\, \):s värde är alltid konstanten \( c\, \) oavsett vilket \( x\, \) man använder i \( f(x)\, \), även om \( x\, \) är ett uttryck, i det här fallet \( x+h\, \).
Exempel:
För funktionen \( f(x) = 4\, \) blir derivatan:
- \[ f\,'(x) = \lim_{h \to 0} \, {f(x+h) \, - \, f(x) \over h} = {4 \, - \, 4 \over h} = {0 \over h} = 0 \]
Derivatan av en linjär funktion
Påstående:
- En linjär funktions derivata är konstant, närmare bestämt:
- Om \( f(x) \; = \; k\cdot x \, + \, m \quad {\rm och} \quad k = {\rm const. } \quad m = {\rm const.} \)
- då \( f\,'(x) \; = \; k \)
Bevis:
Om vi tillämpar derivatans definition på \( f(x) = k\cdot x + m \) kan vi skriva\[ f\,'(x) = \lim_{h \to 0} \, {f(x+h) - f(x) \over h} = \lim_{h \to 0} \, {k\cdot (x+h) + m - (k\cdot x + m) \over h} = \lim_{h \to 0} \, {k\cdot x + k\cdot h + m - k\cdot x - m \over h} = \lim_{h \to 0} \, {k\cdot h \over h} = k \]
Att \( f(x+h) = k\cdot (x+h) + m \) inser man om man i funktionen \( f(x)= k\cdot x + m \) ersätter \( x\, \) med \( x+h\, \).
Exempel:
För funktionen \( f(x) = -8\,x + 9 \) blir derivatan\[ f\,'(x) = \lim_{h \to 0} \, {f(x+h) \, - \, f(x) \over h} = \lim_{h \to 0} \, {-8\, (x+h) + 9 - (-8\,x + 9) \over h} = \lim_{h \to 0} \, {-8\, x -8\, h + 9 + 8\, x - 9 \over h} = \lim_{h \to 0} \, {-8\, h \over h} = -8 \]
Derivatan av en kvadratisk term
Vi börjar med den rena kvadratiska termen \( x^2\, \) och fortsätter sedan med en sådan som har en konstant faktor (koefficient) framför sig.
Påstående:
- En kvadratisk terms derivata är linjär, närmare bestämt:
- Om \( f(x) \; = \; x^2 \)
- då \( f\,'(x) \; = \; 2\,x \)
Bevis:
Om vi tillämpar derivatans definition på \( f(x) = x^2\, \) kan vi skriva\[ f\,'(x) = \lim_{h \to 0} {f(x+h) - f(x) \over h} = \lim_{h \to 0} {(x+h)^2 - x^2 \over h} = \lim_{h \to 0} {(x^2 + 2\,x\,h + h^2) - x^2 \over h} = \lim_{h \to 0} {2\,x\,h + h^2 \over h} = \]
- \[ = \lim_{h \to 0} {h\,(2\,x + h) \over h} = \lim_{h \to 0} \, (2\,x + h) = 2\,x \]
Att \( f(x+h) = (x+h)^2\, \) inser man om man i funktionen \( f(x)= x^2\, \) ersätter \( x\, \) med \( x+h\, \).
Vad händer med derivatan om en konstant faktor (koefficient) står framför \( x^2\, \) t.ex. \( 5\,x^2\, \)?
Påstående:
- Om \( f(x) \; = \; a\, x^2 \quad {\rm och} \quad a = {\rm const.}\)
- då \( f\,'(x) \; = \; 2\,\,a\,x \)
Bevis\[ f\,'(x) = \lim_{h \to 0} {f(x+h) - f(x) \over h} = \lim_{h \to 0} {a\,(x+h)^2 - a\,x^2 \over h} = \lim_{h \to 0} {a\,(x^2 + 2\,x\,h + h^2) - a\,x^2 \over h} = \lim_{h \to 0} {2\,a\,x\,h + a\,h^2 \over h} = \]
- \[ = \lim_{h \to 0} {h\,(2\,a\,x + a\,h) \over h} = \lim_{h \to 0} \, (2\,a\,x + a\,h) = 2\,a\,x \]
Att \( f(x+h) = a\,(x+h)^2\, \) inser man om man i funktionen \( f(x)= a\,x^2\, \) ersätter \( x\, \) med \( x+h\, \).
Exempel:
För funktionen \( f(x) = -25\,x^2 \) blir derivatan:
- \[ f\,'(x) \, = - 50\,x \]
Derivatan av en potens
Även här börjar vi med den rena termen \( x^n\, \) och fortsätter sedan med en sådan som har en konstant faktor (koefficient) framför sig.
- Om \( f(x) \; = \; x\,^n \quad {\rm och} \quad n = {\rm const. } \quad \)
- då \( f\,'(x) \; = \; n\cdot x\,^{n-1} \)
Denna regel gäller för alla \( n\, \), inte bara för positiva heltal utan även för negativa heltal, ja t.o.m. för bråktal.
Eftersom beviset kräver att man utvecklar uttrycket \( f(x) = (x+h)\,^n \) inte bara för alla positiva heltal \( n\, \) utan även för negativa heltal och bråktal och vi inte lärt oss det, kan vi inte genomföra beviset.
Regeln ovan kan anses som den viktigaste formel för derivering av elementära funktioner. Alla deriveringsregler vi bevisat hittills är specialfall av denna allmänna regel för derivering av en potens.
Exempel:
För funktionen \( f(x) = x^5\, \) blir derivatan:
- \[ f\,'(x) \, = 5\,x^4 \]
Vad händer med derivatan om en konstant faktor (koefficient) står framför \( x^n\, \) t.ex. \( 12\,x^n\, \)?
Derivatan av ett polynom
Derivatan av 1 / x
Derivatan av Roten ur x
Deriveringstabell
Internetlänkar
http://www.matematikvideo.se/video.php?id=36
http://www.webbmatte.se/gym/arabiska/2/2_8_4sv.html
http://www.webbmatte.se/gym/arabiska/2/2_8_3sv.html
http://wiki.math.se/wikis/forberedandematte1/index.php/1.3_%C3%96vningar
Copyright © 2010-2011 Taifun Alishenas. All Rights Reserved.
