Skillnad mellan versioner av "2.7 Numerisk derivering"

Versionen från 18 maj 2011 kl. 08.28

Varför numerisk derivering?

Numerisk derivering är en metod för approximativ beräkning av derivatan. Med hjälp av numeriska deriveringsformler beräknas ett nämevärde för derivatan. Frågan uppstår: varför ska vi ta fram ett nämevärde när vi kan få derivatans exakta värde med hjälp av de deriveringsregler som vi sammanställde i en tabell i förra avsnitt? Svaret är: Ibland eller t.o.m. ofta kan vi inte det, vilket blir klarare om vi tittar på den numeriska deriveringens användningsområden.

Numerisk derivering används i följande situationer:

1) När vi ska derivera en funktion som inte matchar mot någon funktionstyp i vår deriveringstabell. Ett exempel är:

\[ f(x) = {2 \over e\,^x + 1} \]

Denna funktion kan inte deriveras med någon av de deriveringsregler vi känner till hittills.

2) När vi har en funktion vars derivata blir så komlicerad att beräkningen av derivatans värden tar mer tid än numerisk derivering. Exempel:

\[ f(x) = {\sin\,3\,x \over 4\,\cos\,x} \]

\[ f\,'(x) = {12\,\cos\,3\,x \cdot \cos\,x \,+\, 4\,\sin\,3\,x \cdot \sin\,x \over 16\,\cos^2\,x} \]

För det första är det inte enkelt att med en deriveringsregel (som vi inte känner till ännu) ställa upp math> f\,'(x) </math>. För det andra är det väsentligt enklare att beräkna funktionsvärden av typ \( f(2)\, \) än \( f\,'(2) \). I de numeriska deriveringsformlerna ingår endast beräkningar av unktionsvärden för \( f(x)\, \), inte \( f\,'(x) \).

3) När vi ska derivera en funktion som är given i tabellform, dvs numeriskt, t.ex.:

Fil:Fkt i tabellform.jpg

Denna funktion saknar algebraisk formel. Ändå uppfyller den definitionen på en funktion, nämligen att vara en "regel som tilldelar varje \( x\, \)-värde endast ett \( y\, \)-värde."

Det finns ingen annan möjlighet att derivera en sådan funktion än numerisk derivering.

Framåtdifferenskvot

F

Bakåtdifferenskvot

F

Central differenskvot

F