Skillnad mellan versioner av "2.2 Genomsnittlig förändringshastighet"

Versionen från 8 januari 2012 kl. 22.03

Vad är genomsnittlig förändringshastighet?

Givet:

Funktionen \( y \, = \, f\,(x) \) i form av en formel, tabell eller graf.

Något intervall på \( x\, \)-axeln med givna gränser \( x_1\, \) och \( x_2\, \) dvs\[ x_1 \,\leq\, x \,\leq\, x_2 \]

Sökt:

Funktionens genomsnittliga förändringshastighet i detta intervall.

Lösning:

Funktionens ändring \( \big / \) Intervallets längd, dvs:

\[ {\Delta y \over \Delta x} \; = \; {y_2 - y_1 \over x_2 - x_1} \; = \; {f(x_2) \, - \, f(x_1) \over x_2 - x_1}\]

En annan form på den genomsnittliga förändringshastigheten får man om man inför den nya beteckningen \( h\, \) för intervallets längd:

\[\begin{align} h & = x_2 - x_1 \qquad & | \; + \, x_1 \\ x_1 + h & = x_2 \\ \end{align}\]

Då kan funktionen \( y = f\,(x) \):s genomsnittliga förändringshastighet i intervallet \( x_1 \,\leq\, x \,\leq\, x_1 + h \) definieras som:

\[ {\Delta y \over \Delta x} \; = \; {f(x_1 + h) \, - \, f(x_1) \over h} \]

Vilket av de två identiska uttrycken ovan man använder beror på sammanhanget. I rent beräkningssammanhang föredras ofta den första formen, medan man i teoretiska resonemang, speciellt när man definierar derivatan exakt eller bevisar deriveringsregler, snarare använder sig av den andra formen.

Kärt barn har många namn: De två uttrycken ovan har ett antal namn som allihopa kan anses vara synonymer:

Genomsnittlig förändringshastighet

Förändringskvot

Ändringskvot

Differenskvot

Om vi kommer ihåg hur begreppet lutning till en rät linje var definierat i Matte B-kursen, kan vi säga att uttrycket ovan (ta den första formen) är inget annat än lutningen till den räta linje som ersätter kurvan \( y = f\,(x) \) i det betraktade intervallet. Dvs om man bortser från kurvans verkliga (kanske krokiga) förlopp och antar istället att det går en rät linje i det betraktade intervallet kan denna räta linjes lutning beräknas med uttrycket ovan. Den räta linjens lutning kallas då kurvans genomsnittliga förändringshastighet i det betraktade intervallet.

Exempel 1 Kvadratisk funktion

Givet:

Funktionen \( y \, = \, x^2 \)

Intervallet \( 0 \,\leq\, x \,\leq\, 2 \)

Sökt:

Funktionens genomsnittliga förändringshastighet i detta intervall.

Lösning:

Funktionens ändring \( \big / \) Intervallets längd

\[ {\Delta y \over \Delta x} \; = \; {f(2) \, - \, f(0) \over 2 - 0} \; = \; {2^2 \, - \, 0^2 \over 2 - 0} \; = \; {4 \, - \, 0 \over 2} \; = \; {4 \over 2} \; = \; 2 \]

Funktionen \( y = x^2 \, \) växer i hela intervallet \( 0 \leq x \leq 2 \) (dvs i genomsnitt) med 2 y-enheter per x-enhet. Detta är innebörden av att funktionens genomsnittliga förändringshastighet i intervallet \( 0 \leq x \leq 2 \) är 2.

Ersätter man i detta intervall kurvan med en rät linje, är det i själva verket linjens lutning som är 2. Denna lutning är identisk med kurvans genomsnittliga förändringshastighet i det betraktade intervallet.

Exempel 2 Marginalskatt

Martins lön höjs från 23 000:- till 24 200:-. Av Skatteverkets skattetabell framgår 5 510:- skatt för den gamla och 5 889:- skatt för den nya lönen.

Beräkna skattens genomsnittliga förändringshastighet som kallas marginalskatt.

Lösning:

I det här fallet är skatten en funktion av lönen: Skatten ökar med lönen enligt:

\( x\, \)	\( y\, \)
\( 23\,000 \)	\( 5\,510 \)
\( 24\,200 \)	\( 5\,889 \)

där \( x\, \) är lönen och \( y\, \) skatten. \( y\, \) är en funktionen av \( x\, \) som är definierad i tabellen ovan.

Skattens genomsnittliga förändringshastighet är skattehöjningen \( \big / \) lönehöjningen, dvs:

\[ {\Delta y \over \Delta x} \; = \; {5\,889 - 5\,510 \over 24\,200 - 23\,000} \; = \; {379 \over 1200} \; = \; 0,316 \]

Därmed blir marginalskatten 31,6 %. Detta innebär i praktiken att Martin betalar 31,6 öre för varje mer intjänad krona.

Exempel 3 Oljetank

En oljetank läcker genom ett hål i tankens botten. Utströmningen av oljan beskrivs av funktionen:

\[ y \, = \, 4\,x^2 - 380\,x + 9\,000 \]

där

\[ x \, = \, \] Tiden i minuter

\[ y \, = \, \] Oljans volym i liter

a) Rita grafen till funktionen som beskriver utströmningen.

b) Hur stor är oljans genomsnittliga utströmningshastighet i hela tidsintervallet från början tills tanken är tom.

c) Beräkna oljans genomsnittliga utströmningshastighet i tidsintervallet \( 20 \leq x \leq 30 \).

d) När är oljans (genomsnittliga) utströmningshastighet störst? Ange den så noggrant som möjligt.

Lösning:

a)

Fil:Ex2 70.jpg

b) Grafen tyder pår att tanken är tom efter ca. 45 minuter. Den exakta tiden får man genom att lösa 2:a gradsekvationen:

\[ 4\,x^2 - 380\,x + 9\,000 = 0 \]

Räknarens ekvationslösare visar att \( x = 45\, \) är den exakta tiden. Därför är hela tidsintervallet från början tills tanken är tom \( 0 \leq x \leq 45 \). I detta intervall är oljans genomsnittliga utströmningshastighet\[ {\Delta y \over \Delta x} = {f(45) \, - \, f(0) \over 45 - 0} = {0 \, - \, 9000 \over 45} = {-9000 \over 45} = -200 \]

I hela tidsintervallet \( 0 \leq x \leq 45 \) sjunker oljans volym med 200 liter per minut.

c) I tidsintervallet \( 20 \leq x \leq 30 \) är oljans genomsnittliga utströmningshastighet:

\[ f\,(30) = 4 \cdot 30^2 - 380 \cdot 30 + 9\,000 = 1200 \]

\[ f\,(20) = 4 \cdot 20^2 - 380 \cdot 20 + 9\,000 = 3000 \]

\[ {\Delta y \over \Delta x} = {f(30) \, - \, f(20) \over 30 - 20} = {1200 \, - \, 3000 \over 30 - 20} = {-1800 \over 10} = -180 \]

I tidsintervallet \( 20 \leq x \leq 30 \) sjunker oljans volym med 180 liter per minut.

d) Grafen i a) visar att kurvans lutning är störst i början dvs vid tiden \( x = 0\, \) när oljan har mest volym, nämligen 9 000 liter. Därför är även oljans utströmningshastighet störst vid denna tidpunkt. Men denna hastighet är inte längre genomsnittlig i något intervall utan ögonblicklig vid en viss tidpunkt eller momentan.

För att beräkna den momentana och därmed den exakta utströmningshastigheten vid tiden \( x = 0\, \) måste man bestämma funktionen \( y\, \):s exakta derivata, vilket vi inte lärt oss ännu.

För att approximera den momentana utströmningshastigheten vid tiden \( x = 0\, \) så noggrant som möjligt måste vi välja ett så litet tidsintervall som möjligt med \( x = 0\, \) som undre intervallgräns.

Låt oss t.ex. beräkna oljans genomsnittliga utströmningshastighet i tidsintervallet \( 0 \leq x \leq 0,1 \):

\[ f\,(0,1) = 4 \cdot 0,1^2 - 380 \cdot 0,1 + 9\,000 = 8962,04 \]

\[ {\Delta y \over \Delta x} = {f(0,1) \, - \, f(0) \over 0,1 - 0} = {8962,04 \, - \, 9000 \over 0,1} = {-37,96 \over 0,1} = -379,6 \]

I tidsintervallet \( 0 \leq x \leq 0,1 \) sjunker oljans volym med \( 379,6\, \) liter per minut.

Faktiskt är denna approximation inget dåligt närmevärde för den momentana utströmningshastigheten vid tiden \( x = 0\, \), för det exakta värdet är \( -380\, \). I nästa avsnitt kommer vi att lära oss hur man får reda på det.

Internetlänkar

http://ingforum.haninge.kth.se/matCD/F%F6rel%E4sning01.pdf

http://www.iceclimbers.net/fil/matematik_c/12.genomsnittlig_forandringshastighet.pdf

Copyright © 2010-2012 Taifun Alishenas. All Rights Reserved.