Skillnad mellan versioner av "2.6 Derivatan av exponentialfunktioner"

Versionen från 24 januari 2012 kl. 15.13

Lektion 28 Dagens program

Derivatan av exponentialfunktionen med basen e

I detta avsnitt kommer vi att ställa upp deriveringsregeln för exponentialfunktionen med basen \( e = 2,718281828\cdots \) (Eulers tal), den s.k. naturliga exponentialfunktionen, dvs \( y = e\,^x \).

För att kunna göra det gör vi först ett försök med derivatans definition att ställa upp en deriveringsregel för den allmänna exponentialfunktionen \( y = a\,^x \) med en godtycklig bas \( a > 0\, \). Försöket kommer att misslyckas, men det kommer att leda oss till den avgörande frågeställning som leder till problemets lösning. Frågeställningen lyder:

Kan basen i den allmänna exponentialfunktionen väljas så att derivatan av \( y = a\,^x \) blir så enkel som möjligt, nämligen \( y\,' = a\,^x \)?

Man vänder alltså på steken: Istället för att fråga efter deriveringsregeln, ger man en deriveringsregel och frågar efter en bas samt beräknar basen så att den uppfyller deriveringsregeln.

Det kommer att visa sig att svaret på frågan oven är: Ja, denna bas kan bestämmas till Eulers tal \( e\, \).

I matematikens historia har frågeställningen motiverat den schweiziske matematikern Leonard Euler att ställa upp sin berömda formel för beräkning av talet \( e\, \). På 1700-talet bevisade han att den efterfrågade basen var just \( e\, \), varför talet kallats efter honom. Vi försöker i detta avsnitt att följa hans bevis.

Fil:ExpDeriv1 40c.jpg

Fil:ExpDeriv2 50.jpg

Fil:ExpDeriv3 50.jpg

Derivatan av den allmänna exponentialfunktionen

Från att ha ställt upp deriveringsregeln för den naturliga exponentialfunktionen \( y = e\,^x \) är det bara ett enkelt steg till deriveringsregeln för den allmänna exponentialfunktionen \( y = a\,^x \) med en godtycklig bas \( a > 0\, \):

Fil:ExpDeriv4 50a.jpg

Specialfallet \( a = e\, \) och \( \ln a = \ln e = 1\, \) ger derveringsregeln \( y\,' = e^x \) för den naturliga exponentialfunktionen.

Uppdaterad tabell över deriveringsregler

I följande tabell är \( c,\,k,\,m,\,n,\,a \) konstanter, medan \( x\, \) och \( y\, \) är variabler, \( x\, \) den oberoende och \( y\, \) den beroende variabeln\[ y = f(x)\, \].

\( y\, \)	\( y\,' \)
\( c\, \)	\( 0\, \)
\( x\, \)	\( 1\, \)
\( a\; x \)	\( a\, \)
\( k\; x \, + \, m \)	\( k\, \)
\( x^2\, \)	\( 2\,x \)
\( a\,x^2 \)	\( 2\,a\,x \)
\( x^n\, \)	\( n\cdot x\,^{n-1} \)
\( a\,x\,^n \)	\( n\cdot a\,x\,^{n-1} \)
\( {1 \over x} \)	\( - {1 \over x^2} \)
\( \sqrt{x} \)	\( {1 \over 2\, \sqrt{x}} \)
\( e\,^x \)	\( e\,^x \)
\( e\,^{k\,x} \)	\( k\cdot e\,^{k\,x} \)
\( c\cdot e\,^{k\,x} \)	\( c\cdot k\cdot e\,^{k\,x} \)
\( a\,^x \)	\( a\,^x \cdot \ln a \)
\( f(x) + g(x)\, \)	\( f\,'(x) + g\,'(x) \)
\( a\cdot f(x) \)	\( a\cdot f\,'(x) \)

De två sista raderna i tabellen är snarare generella satser än deriveringsregler. De gäller för alla funktioner \( f(x)\, \) och \( g(x)\, \). Av praktiska skäl tar vi upp dem ändå i samma tabell som deriveringsreglerna. Denna tabell kommer att ytterligare kompletteras i Matte D-kursen då vi kommer att lära oss fler deriveringsregler och fler generella satser.

Internetlänkar

http://www.youtube.com/watch?v=OyKmc2bPWe0

http://www.youtube.com/watch?v=8of_svLfcjk

http://www.youtube.com/watch?v=OY8CeLUxE64&feature=related

http://www.youtube.com/watch?v=2wH-g60EJ18&feature=related

http://www.larcentrum.org/Safir/MA1203W/htm/m03_deriv1/m03_deriv_definition.htm

http://www.naturvetenskap.org/index.php?option=com_content&view=article&id=129&Itemid=132

Copyright © 2010-2012 Taifun Alishenas. All Rights Reserved.