Skillnad mellan versioner av "1.3 Rationella uttryck"
Taifun (Diskussion | bidrag) m (→Vad är ett rationellt uttryck?) |
Taifun (Diskussion | bidrag) m (→Vad är ett rationellt uttryck?) |
||
| Rad 33: | Rad 33: | ||
Följaktligen blir även hela uttryckets värde inte definierat. Man säger, det rationella uttrycket ovan är definierat för alla <math> x\, </math> utom för <math> x = 1\, </math> och <math> x = -1\, </math>. | Följaktligen blir även hela uttryckets värde inte definierat. Man säger, det rationella uttrycket ovan är definierat för alla <math> x\, </math> utom för <math> x = 1\, </math> och <math> x = -1\, </math>. | ||
| − | Uttryckets <strong><span style="color:red">definitionsmängd</span></strong> är: | + | Uttryckets <strong><span style="color:red">definitionsmängd</span></strong>, dvs alla <math> x\, </math> för vilka uttrycket är definierad, är: |
::::<math> {\rm Alla}\quad x \quad {\rm med} \quad x \neq 1 \quad {\rm och} \quad x \neq -1 </math> | ::::<math> {\rm Alla}\quad x \quad {\rm med} \quad x \neq 1 \quad {\rm och} \quad x \neq -1 </math> | ||
Versionen från 4 juli 2014 kl. 10.44
| Repetition Bråkräkning | Teori | Övningar | Fördjupning | Internetlänkar |
Lektion 8 Rationella uttryck II
Innehåll
Vad är ett rationellt uttryck?
Ett heltal är ett tal ur mängden \( \left\{ \dots, -3, -2, -1, \,0,\, 1,\, 2,\, 3, \dots \right\} \) dvs alla negativa heltal, noll och alla positiva heltal.
Ett rationellt tal är ett tal i bråkform, dvs kvoten (resultatet av division) mellan två heltal med undantaget \( 0\, \) i nämnaren, t.ex.:
- \[ 3 \over 4 \]
Noll får inte förekomma i nämnaren, för division med \( 0\, \), t.ex. \( 3 \over 0 \) är inte definierad, se Fördjupning: Varför är division med 0 inte definierad?.
Ett rationellt uttryck är kvoten mellan två polynom, t.ex.:
- \[ 6\,x \over x^2 - 1 \]
Nämnaren \( x^2 - 1\, \) får inte vara \( 0\, \). Detta innebär att \( x\, \) varken får vara \( 1\, \) eller \( -1\, \), för då blir polynomet \( x^2 - 1\, \):s värde \( 0\, \) och därmed inte definierat.
Följaktligen blir även hela uttryckets värde inte definierat. Man säger, det rationella uttrycket ovan är definierat för alla \( x\, \) utom för \( x = 1\, \) och \( x = -1\, \).
Uttryckets definitionsmängd, dvs alla \( x\, \) för vilka uttrycket är definierad, är:
- \[ {\rm Alla}\quad x \quad {\rm med} \quad x \neq 1 \quad {\rm och} \quad x \neq -1 \]
Analogin (motsvarigheten) mellan heltal och polynom å ena och rationellt tal och rationellt uttryck å andra sidan kommer att löpa som en röd tråd i hela detta avsnitt. Den hjälper oss även att räkna med rationella uttryck:
Addition & subtraktion av rationella uttryck
Analogin som nämndes ovan innebär bl.a. att räknereglerna för rationella uttryck är en naturlig fortsättning av de regler som gäller för räkning med bråktal, fast på ett högre plan.
Man kan säga att räknereglerna för rationella uttryck är generaliseringar av bråkräkningens regler. Därför används samma principer som gäller för bråkräkning, för räkning med rationella uttryck.
Därför rekommenderas: Repetera bråkräkning från Matte 1.
Vi kan nu använda samma principer för att addera och subtrahera rationella uttryck:
Exempel 1
Förenkla följande uttryck så långt som möjligt\[ {5 \over 2\,x} \, - \, {4 \over 3\,x} \]
\( {5 \over 2\,x} \, - \, {4 \over 3\,x} \; = \; {\;5 \;\,\cdot {\color{Red} 3\,x} \over 2\,x \cdot {\color{Red} 3\,x}} \, - \, {\;4 \;\,\cdot {\color{Red} 2\,x} \over 3\,x \cdot {\color{Red} 2\,x}} \; = \; {\;15\,x \over 6\,x^2} \, - \, {\;8\,x \over 6\,x^2} \; = \; {\;15\,x - 8\,x \over 6\,x^2} \; = \; {7\,x \over 6\,x^2} \; = \; {7 \over 6\,x} \)
Exempel 2
Förenkla följande uttryck så långt som möjligt\[ {7 \over 12\,x} \, - \, {3 \over 8\,x^2} \, + \, {7 \over 24\,x^3} \]
\( {7 \over 12\,x} \, - \, {3 \over 8\,x^2} \, + \, {7 \over 24\,x^3} \; = \; {\;\;7 \;\;\,\cdot {\color{Red} 2\,x^2} \over 12\,x \cdot {\color{Red} 2\,x^2}} \, - \, {\;\,3 \;\;\,\cdot {\color{Red} 3\,x} \over 8\,x^2 \cdot {\color{Red} 3\,x}} \, + \, {7 \over 24\,x^3} \; = \; {14\,x^2 \over 24\,x^3} \, - \, {9\,x \over 24\,x^3} \, + \, {7 \over 24\,x^3} \; = \; {14\,x^2 - 9\,x + 7 \over 24\,x^3} \)
Exempel 3
Förenkla följande uttryck så långt som möjligt\[ {2 \over a-b} \, - \, {1 \over b-a} \]
\( {2 \over a-b} \, - \, {1 \over b-a} \; = \; {2 \over a-b} \, - \, {1 \over - \, (a-b)} \; = \; {2 \over a-b} \, + \, {1 \over a-b} \; = \; {2 \, + \, 1 \over a-b} \; = \; {3 \over a-b} \)
Exempel 4
Förenkla följande uttryck så långt som möjligt\[ {2 \over x^2-4} \, + \, {1 \over 2\,x - x^2} \]
\( {2 \over x^2-4} \, + \, {1 \over 2\,x - x^2} \; = \; {2 \over (x+2)\cdot(x-2)} \, + \, {1 \over (2-x)\cdot x} \; = \; {2 \over (x+2)\cdot(x-2)} \, + \, {1 \, \over - \, (x-2)\cdot x} \; = \; \)
\( = \; {2 \over (x+2)\cdot(x-2)} \, + \, {-1 \over (x-2)\cdot x} \; = \; {\qquad\quad 2 \qquad\quad\;\cdot {\color{Red} x} \over (x+2)\cdot(x-2) \cdot {\color{Red} x}} \; + \; {{\color{Red} (x+2)}\cdot \quad\, (-1) \quad\, \over {\color{Red} (x+2)}\cdot (x-2)\cdot x} \; = \; \)
\( = \; {2\,x \; + \; (x+2) \cdot (-1) \over (x+2) \cdot (x-2)\cdot x} \; = \; {2\,x \; + \; (-x-2) \over (x+2) \cdot (x-2)\cdot x} \; = \; {2\,x - x - 2 \over (x+2) \cdot (x-2)\cdot x} \; = \)
\( = \; {x - 2 \over (x+2) \cdot (x-2)\cdot x} \; = \; {1 \over x \; (x+2)} \)
Multiplikation & division av rationella uttryck
Copyright © 2011-2014 Taifun Alishenas. All Rights Reserved.
