2.3 Gränsvärde
| <-- Förra avsnitt | Teori | Övningar | Nästa avsnitt --> |
Gränsvärde av en funktion
Exempel 1
Följande funktion samt graf är given:
\[ y = f(x) = {10 \over x - 2} \qquad\qquad {\color{White} x} \] Fil:Ex 1 Gränsvärde 70.jpg
För \( x = 2\, \) är \( f(x)\, \) inte definierad, för funktionsuttryckets nämnare blir \( 0\, \) när \( x = 2\, \). Följaktligen visar grafen i \( x = 2\, \) en diskontinuitet av typ oändlighetsställe. \( f(x)\, \) är kontinuerlig i hela sin definitionsmängd som består av alla \( x \neq 2\, \).
Vi vill undersöka hur \( f(x)\, \) beter sig när \( x \, \) växer. Som grafen visar blir \( f(x)\, \) allt mindre ju större \( x \, \) blir. Kurvan närmar sig \( 0\, \) när \( x \, \) växer utan att bli \( 0\, \) någon gång. Kurvan skär aldrig \( \, x \)-axeln. Därför har funktionen inget nollställe. Detta bekräftas av funktionsuttrycket: Täljaren är konstanten \( 10\, \) som aldrig kan bli \( 0\, \). Därför kan hela funktionsuttrycket aldrig bli \( 0\, \). Men hur ska man beskriva funktionens beteende för stora värden på \(\,x\)? Ett sätt att göra det är:
\[ {10 \over x - 2} \to 0 \] när \( x \to \infty \qquad {\color{White} x} \) vilket läses så här\[ {\color{White} x} \qquad {10 \over x - 2} \] går mot \( 0\, \) när \( \,x \) går mot \( \infty \).
Ett annat sätt att uttrycka samma sak är:
\[ \lim_{x \to \infty}\,{10 \over x - 2}\,=\,0 \qquad\qquad\; {\color{White} x} \] vilket läses så här\[ {\color{White} x} \qquad\qquad \] Limes av \( {10 \over x - 2} \) är \( 0\, \) när \( \,x \) går mot \( \infty \).
+++
Men \( {1 \over x} \) kan inte gå mot \( f(0)\, \) därför att \( f(0)\, \) dvs \( {1 \over 0} \) inte är definierad. Därme är definitionens krav inte uppfyllt.
Slutsats: Funktionen \( y = {1 \over x} \) är inte kontinuerlig för \( x = 0\, \).
b) Låt oss nu undersöka om funktionen är kontinuerlig för \( {\color{Red} x = 2}\, \). Vi ersätter i definitionen \( a \, \) med \( 2 \, \) och \( f(x) \, \) med \( 1 \over x \). Enligt definitionen borde då:
- \[ {1 \over x} \to {1 \over 2} \] när \( x \to 2 \).
Närmar man sig \( 2\, \) på \( x\, \)-axeln, från höger eller från vänster, närmar sig \( y\, \) värdet \( 1 \over 2 \) i båda fall, därör att \( f(2) = {1 \over 2} \). Därmed är dfinitionens krav uppfyllt.
Slutsats: Funktionen \( y = {1 \over x} \) är kontinuerlig för \( x = 2\, \).
På samma sätt kan man undersöka om funktionen är kontinuerlig för andra \( {\color{Red} x}\, \). Det kommer att visa sig att:
- Funktionen \( y = {1 \over x} \) är kontinuerlig för alla \( x \neq 0\, \).
Resultatet kan också ses i grafen: Endast i \( x=0\, \) skenar kurvorna iväg mot oändligheten, den ena mot \( + \infty\, \), den andra mot \( - \infty\, \), annars är de sammanhängande.
