1.2 Lösning 13

Påstående: Om \( P(x) = x^2 + p\,x + q \) har nollställena \( x_1\, \) och \( x_2\, \) så gäller:

\[ x^2 + p\,x + q = (x-x_1) \cdot (x-x_2) \]

Bevis:

Nollställena \( x_1\, \) och \( x_2\, \) till \( P(x) \, \) är lösningar till ekvationen:

\[ x^2 + p\,x + q = 0 \]

För dem gäller p-q-formeln:

\[x_{1,2} = -\frac{p}{2}\pm\sqrt{\bigg(\frac{p}{2}\bigg)^2-q} = a_1 \pm a_2 \]

där \( a_1\, \) och \( a_2\, \) är nya beteckningar:

\[ a_1 = -\frac{p}{2} \quad {\color{White} x} {\rm och} {\color{White} x} \quad a_2 = \sqrt{\bigg(\frac{p}{2}\bigg)^2-q} \]

Vi sätter in \( x_1 = a_1 + a_2\, \) och \( x_2 = a_1 - a_2\, \) i högerledet av påståendet:

\[ (x-x_1) \cdot (x-x_2) = (x\,-\,[a_1 + a_2]) \cdot (x\,-\,[a_1 - a_2]) = (x - a_1 - a_2) \cdot (x - a_1 + a_2) = \]

\[ = ([x - a_1] - a_2) \cdot ([x - a_1] + a_2)\,=\,[x - a_1]^2 \, - \, a_2^2\,=\,x^2\,-\,2\,a_1\,x\,+\,a_1\,^2\,-\,a_2\,^2 = \]

\[ =\, x^2\,-\,2 \, (-\frac{p}{2}) \,x\,+\,\frac{p^2}{4}\,-\,(\frac{p^2}{4} - q) = \]