2.5 Fördjupning till Deriveringsregler

<-- Förra avsnitt

Teori

Övningar

Fördjupning

Nästa avsnitt -->

Lektion 19 Deriveringsregler I

Lektion 20 Deriveringsregler II

Bevis av deriveringsreglerna

Att använda deriveringsreglerna är en sak, att bevisa dem en annan.

Av praktiska skäl har vi skilt dessa två från varandra fram för allt för att underlätta den direkta användningen av deriveringsreglerna i övningar, prov osv. utan att behöva använda derivatans definition. Vill man däremot förstå varför reglerna ser ut som de gör och hur de kommer till, borde man studera detta avsnitt. Härledningen av deriveringsreglerna ingår i kursplanen för Matematik 3 och syftar åt att få en förståelse för matematiken bakom reglerna och kunna klara av uppgifter som kräver gränsövergången med Limes.

Det som kommer att ligga till grund för alla våra bevis av deriveringsreglerna i detta avsnitt är derivatans definition som vi hade ställt upp i förra avsnitt:

Derivatans definition

Om \( {\color{White} x} y \,=\, f(x) \)

då \( {\color{White} x} y\,' \,=\, f\,'(x) \,=\, \displaystyle \lim_{h \to 0} \, {f(x+h) - f(x) \over h} \)

Om \( {\color{White} x} y \,=\, f(x) \)

då \( {\color{White} x} y\,' \,=\, f\,'(x) \,=\, \displaystyle \lim_{h \to 0} \, {f(x+h) - f(x) \over h} \)

Derivatan av en konstant

Påstående:

Derivatan av en konstant är 0.

Om \( {\color{White} x} f(x) = c \quad {\rm där} \quad c = {\rm const.} \)

då \( {\color{White} x} f\,'(x) = 0 \).

Bevis:

Om vi tillämpar derivatans definition på \( f(x) = c\, \) kan vi skriva:

\[ f\,'(x) = \lim_{h \to 0} \, {f(x+h) \, - \, f(x) \over h} = \lim_{h \to 0} \, {c \, - \, c \over h} \; = \; \lim_{h \to 0} \, {0 \over h} \; = \; 0 \]

Att \( f(x+h) = c\, \) inser man när man tolkar den givna funktionen \( f(x) = c\, \) så att den gäller för alla \( {\color{Red} x} \), även om \( x\, \) inte förekommer i funktionsuttrycket. Dvs funktionen \( \,f(x)\):s värde är alltid konstant oavsett vad man sätter in för \( x\, \). Detta även om man sätter in ett uttryck för \( x\, \), i det här fallet \( x+h\, \).

Exempel:

För funktionen \( f(x) = -5\, \) blir derivatan:

\[ f\,'(x) = \lim_{h \to 0} \, {f(x+h) \, - \, f(x) \over h} = \lim_{h \to 0} \, {-5 \, - \, (-5) \over h} = \lim_{h \to 0} \, {-5 \, + \, 5 \over h} = \lim_{h \to 0} \, {0 \over h} = 0 \]

Att \( f(x+h) = -5 \) beror på att funktionen \( \,f(x)\):s värde alltid är \( \,-5 \) oavsett vad man sätter in för \( x\, \), även om det är \( x+h\, \) som man sätter in.

Derivatan av en linjär funktion

Påstående:

Derivatan av en linjär funktion är konstant.

Om \( f(x) \; = \; k\cdot x \, + \, m \quad {\rm där} \quad k,\,m = {\rm const. } \)

då \( f\,'(x) \; = \; k \)

Bevis:

Om vi tillämpar derivatans definition på \( f(x) = k\cdot x + m \) kan vi skriva\[ f\,'(x) = \lim_{h \to 0} \, {f(x+h) - f(x) \over h} = \lim_{h \to 0} \, {k\cdot (x+h) + m - (k\cdot x + m) \over h} = \lim_{h \to 0} \, {k\cdot x + k\cdot h + m - k\cdot x - m \over h} = \lim_{h \to 0} \, {k\cdot h \over h} = k \]

Att \( f(x+h) = k\cdot (x+h) + m \) inser man när man i funktionen \( f(x)= k\cdot x + m \) ersätter \( x\, \) med \( x+h\, \).

Exempel:

För funktionen \( f(x) = -8\,x + 9 \) blir derivatan:

\[ f\,'(x) = \lim_{h \to 0} \, {f(x+h) \, - \, f(x) \over h} = \lim_{h \to 0} \, {-8\, (x+h) + 9 - (-8\,x + 9) \over h} = \lim_{h \to 0} \, {-8\, x -8\, h + 9 + 8\, x - 9 \over h} = \lim_{h \to 0} \, {-8\, h \over h} = -8 \]

Att \( f(x+h) = -8\, (x+h) + 9 \) inser man när man i funktionen \( f(x)= -8\,x + 9 \) ersätter \( x\, \) med \( x+h\, \).

Derivatan av en kvadratisk funktion

Påstående:

Derivatan av en kvadratisk funktion är en linjär funktion.

Om \( f(x) \; = \; a\,x^2 \, + \, b\,x \, + \, c \quad {\rm där} \quad a,\,b,\,c = {\rm const. } \)

då \( f\,'(x) \; = \; 2\,a\,x \, + \, b \)

Bevis:

Först ställer vi upp de uttryck som förekommer i derivatans definition.

För att ställa upp \( f\,(x+h) \) ersätter vi \( x\, \) med \( x+h\, \) i funktionen \( f(x) = a\,x^2 + b\,x + c \) :

\[ \begin{array}{rcl} f\,(x+h) & = & a\,(x+h)^2 + b\,(x+h) + c & = \\ & = & a\,(x^2 + 2\,x\,h + h^2) + b\,x + b\,h + c & = \\ & = & a\,x^2 + 2\,a\,x\,h + a\,h^2 + b\,x + b\,h + c \end{array}\]

\[ \begin{array}{rcl} f\,(x+h) - f\,(x) & = & a\,x^2 + 2\,a\,x\,h + a\,h^2 + b\,x + b\,h + c - (a\,x^2 + b\,x + c) & = \\ & = & a\,x^2 + 2\,a\,x\,h + a\,h^2 + b\,x + b\,h + c - a\,x^2 - b\,x - c & = \\ & = & 2\,a\,x\,h + a\,h^2 + b\,h & = \\ \end{array}\]

\[ {f(x+h) - f(x) \over h} = {2\,a\,x\,h + a\,h^2 + b\,h \over h} = {h\cdot (2\,a\,x\ + a\,h + b) \over h} = 2\,a\,x\ + a\,h + b \]

Sedan tillämpar vi derivatans definition genom att bilda gränsvärdet:

\[ f\,'(x) \; = \; \lim_{h \to 0} \; (2\,a\,x\ + a\,h + b) \; = \; 2\,a\,x\ + b \]

Exempel:

För funktionen \( f\,(x) = 5\,x^2 - 3\,x + 6 \) bildas derivatan steg för steg med hjälp av derivatans definition:

\[ \begin{array}{rcl} f\,(x+h) & = & 5\,(x+h)^2 - 3\,(x+h) + 6 & = \\ & = & 5\,(x^2 + 2\,x\,h + h^2) - 3\,x - 3\,h + 6 & = \\ & = & 5\,x^2 + 10\,x\,h + 5\,h^2 - 3\,x - 3\,h + 6 \end{array}\]

\[ \begin{array}{rcl} f\,(x+h) - f\,(x) & = & 5\,x^2 + 10\,x\,h + 5\,h^2 - 3\,x - 3\,h + 6 - (5\,x^2 - 3\,x + 6) & = \\ & = & 5\,x^2 + 10\,x\,h + 5\,h^2 - 3\,x - 3\,h + 6 - 5\,x^2 + 3\,x - 6 & = \\ & = & 10\,x\,h + 5\,h^2 - 3\,h & = \\ \end{array}\]

\[ {f(x+h) - f(x) \over h} = {10\,x\,h + 5\,h^2 - 3\,h \over h} = {h\cdot (10\,x\ + 5\,h - 3) \over h} = 10\,x\ + 5\,h - 3 \]

\[ f\,'(x) = \lim_{h \to 0} \, (10\,x + 5\,h - 3) = 10\,x - 3 \]

Derivatan av \( \displaystyle {1 \over x} \)

Påstående:

Om \( \displaystyle f(x) \; = \; {1 \over x} \)

då \( \displaystyle f\,'(x) \; = \; - \, {1 \over x^2} \)

Bevis (med derivatans definition):

\[ f(x+h) - f(x) = {1 \over x+h} - {1 \over x} = {x \over x\,(x+h)} - {x+h \over x\,(x+h)} = {x - (x+h) \over x\,(x+h)} = {x - x - h \over x\,(x+h)} = {- h \over x\,(x+h)} \]

\[ {f(x+h) - f(x) \over h} = {- h/h \over x\,(x+h)}= {- 1 \over x\,(x+h)} \]

\[ f\,'(x) = \lim_{h \to 0} {f(x+h) - f(x) \over h} = \lim_{h \to 0} \; {- 1 \over x\,(x+h)} = {- 1 \over x\,(x+0)} = - \, {1 \over x^2} \]

Alternativt (med deriveringsregeln för potenser): Se Derivatan av en potens, Exempel 2.

Derivatan av \( \sqrt{x} \)

Påstående:

Om \( f(x) \; = \; \sqrt{x} \)

då \( f\,'(x) \; = \; \displaystyle {1 \over 2\, \sqrt{x}} \)

Bevis (med deriveringsregeln för potenser): Se Derivatan av en potens, Exempel 3

Derivatan av ett polynom

Påstående:

En polynomfunktion deriveras termvis:

Om \( f(x) = a_n\, x^n \qquad\,\, + \, a_{n-1}\, x^{n-1} \qquad\qquad + \quad \ldots \quad + a_1\, x + \, a \)

då \( f\,'(x) = n\cdot a_n \, x^{n-1} \, + \, (n-1)\cdot a_{n-1} \, x^{n-2} \, + \quad \ldots \quad + \, a_1 \)

Bevis:

Eftersom en polynomfunktion bildas som en summa av termer där termerna i sin tur är potensfunktioner kan påståendet bevisas genom att först använda regeln för derivatan av en potensfunktion och sedan kombinera den med regeln för derivatan av en summa av funktioner.

Exempel:

För polynomfunktionen \( f(x) \;=\; \displaystyle {1 \over 2}\,x^4 \,\;\;\, + \,\;\;\; {5 \over 6}\,x^3\,-\,\,0,8\,x^2\,+\,12\,x\,-\,9 \) blir derivatan:

\[ {\color{White} x} f\,'(x) = 4\cdot {1 \over 2}\,x^3 + 3\cdot {5 \over 6}\,x^2 - 2\cdot 0,8\,x \,+\, 12 \,=\, 2\,x^3 \,+\, {5 \over 2}\,x^2 \,-\, 1,6\,x + 12 \]

Copyright © 2011-2014 Taifun Alishenas. All Rights Reserved.