3.3 Lösning 5a

\[\begin{array}{rcl} f(x) & = & 3\,x^4 + 4\,x^3 \\ f'(x) & = & 12\,x^3 + 12\,x^2 \\ f''(x) & = & 36\,x^2 + 24\,x \\ f'''(x) & = & 72\,x + 24 \end{array}\]

Derivatans nollställen:

\[\begin{array}{rcrcl} f'(x) & = & 12\,x^3 + 12\,x^2 & = & 0 \\ & & 12\,x^2\,(x + 1) & = & 0 \\ & & x_1 & = & 0 \\ & & x_2 & = & -1 \end{array}\]

Derivatan har två nollställen, ett i \( x_1 = 0 \) och ett i \( x_2 = -1 \).

Nollställe 1: \( {\color{White} x} x_1 = 0 \)

Vi sätter in \( x_1 = 0 \, \) i andraderivatan:

\[ f''(0) \, = \, 36\cdot 0^2 + 24\cdot 0 = 0 \]

Vi sätter in \( x_1 = 0 \, \) i tredjederivatan:

\[ f'''(0) \, = \, 72\cdot 0 + 24 = 0 + 24 = 24 \, \neq 0 \]

Enligt regeln om terasspunkter med högre derivator:

\[ \, f\,'(0) \, = \, f\,''(0) \, = \, 0, \quad f\,'''(0) \, \neq \, 0 \quad \Longrightarrow \quad f(x) \, \] har i \( \, x = 0 \, \) en terasspunkt.

Nollställe 2: \( {\color{White} x} x_2 = -1 \)

Vi sätter in \( x_2 = -1 \, \) i andraderivatan:

\[ f''(-1) \, = \, 36\cdot (-1)^2 + 24\cdot (-1) = 36\cdot 1 - 24 = 36 - 24 = 12 \, > \, 0 \]

Enligt regler om maxima och minima med andraderivata:

\[ \, f\,'(-1) \, = 0, \quad f\,''(-1) \, > \, 0 \quad \Longrightarrow \quad f(x) \, \] har i \( \, x = -1 \, \) en minimipunkt.